Matematyka.pl

Cześć,
Proszę o pomoc w zadaniu: Znaleźć p dla którego szereg będzie zbieżny.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{} \frac{\ln(1+n^p)}{n^p}}\)

Bardzo proszę o wskazówki.

Wskazówka 1.: dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \ln (1+n^p)\approx \ln n^p=p\ln n}\)

Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)

Rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \ge \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\)

Zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \le \frac{\ln(2n^p)}{n^p}.}\)

Lorek pisze:Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)

Jak to zastosować do rozwiązania?

fon_nojman,

Ukryta treść:

skolukmar w pw pisze:Dzięki za odpowiedź w poście ale nie do końca rozumie.

Z jakiego kryterium mam skorzystać ? Porównawczego, ilorazowego ?
Jak mam z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) ?

Tytuł: Zbieżność szeregu zależna od parametru

fon_nojman pisze:Rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \ge \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\)

Zbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{\ln(1+n^p)}{n^p} \le \frac{\ln(2n^p)}{n^p}.}\)

Lorek pisze:Wskazówka 2.: dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^a}=0}\)
Jak to zastosować do rozwiązania?

Korzystasz z kryterium porównawczego. Dla jakich \(\displaystyle{ p}\) szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{\ln(n^p)}{n^p}}\) jest rozbieżny? Skorzystaj z własności logarytmu.