Zbieżność szeregów - korzystanie z "trików"

[Anal_Iza]

Witam,

dzisiaj miałem mały problem z dowodem pewnego szeregu liczbowego, czy jest on zbieżny czy też nie.

\(\displaystyle{ \sum (-1)^{n} \frac{1}{n - \ln(n)}}\)

Korzystając z bezwzględnej zbieżności na podstawie kryterium porównawczego widać, że jest on rozbieżny, więc to nic nie dało. Więc chciałem udowodnić to na podstawie kryterium Leibniza, ale widzicie, że trochę trudno.

Więc użyłem tytułowego sprytnego triku:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n - \ln(n)} = \frac{e}{e^{n - \ln(n)}} = \frac{n \cdot e}{e^{n}}}\)

czy mogę to zrobić przy dowodzeniu w podanym wyżej kryterium?

[bartek118]

Po pierwsze:

Ta równość nie zachodzi

\(\displaystyle{ \frac{1}{n - \ln(n)} = \frac{e}{e^{n - \ln(n)}}}\)

[Chromosom]

zastosowanie kryterium Leibniza jest dobrym rozwiązaniem w tym przypadku; nie jest trudne do udowodnienia spełnienie odpowiednich założeń.

[Insol3nt]

Pewnie koledze chodziło o ten wzór:
\(\displaystyle{ a=e^{\ln(a)}}\)

A czy moje rozwiązanie jest poprawne? Proszę zerknąć

Z kryterium porównawczego chcę udowodnić, że nasz ciąg jest rozbieżny:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-\ln(n)} \le b_{n}}\)
ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) musi być rozbieżny, wtedy nasz szereg będzie bezwzględnie rozbieżny.


Mianownik:
\(\displaystyle{ \ln(n)<\ln(n+1) \\
-\ln(n)>-\ln(n+1)\\
n-\ln(n)>n-\ln(n+1)}\)

Licznik:(od n=2)
\(\displaystyle{ 1<n}\)

więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-\ln(n)} \le \frac{n}{n-\ln(n+1)}}\)

Sprawdzam warunek konieczny zbieżności szeregu \(\displaystyle{ b_n}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{n}{n-\ln(n+1)} = 1 \neq 0}\)

W.K zatem jest niespełniony. Szereg rozbieżny.

Zatem na mocy kryterium porównawczego, nasz szereg jest bezwzględnie rozbieżny.-- 22 sie 2011, o 16:10 --

Korzystając z bezwzględnej zbieżności na podstawie kryterium porównawczego widać, że jest on rozbieżny, więc to nic nie dało. Więc chciałem udowodnić to na podstawie kryterium Leibniza, ale widzicie, że trochę trudno.

skoro widać, że jest on bezwzględnie rozbieżny, to po co sprawdzać czy jest zbieżny warunkowo z kryterium Leibniza?
Może mi ktoś to wytłumaczyć, bo może coś mieszam.

pozdrawiam.

[Lorek]

Z kryterium porównawczego chcę udowodnić, że nasz ciąg jest rozbieżny:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-\ln(n)} \le b_{n}}\)

No niestety, ale jak chcesz coś takiego udowadniać, to nierówność w przeciwną stronę.

A i to, że jest bezwzględnie rozbieżny, to nie znaczy, że jest warunkowo rozbieżny.

[Chromosom]

Insol3nt, dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi przykładowo \(\displaystyle{ \ln n\le\frac n2}\)