Udowodnić, z Weierstrassa

[Insol3nt]

\(\displaystyle{ \sum nx^n}\)
Udowodnić, że szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie dla \(\displaystyle{ |x|<0,99}\)

Proszę o naprowadzenie.

[Lorek]

Sam się naprowadziłeś w temacie Co mówi to twierdzenie?

[Insol3nt]

kryterium mówi nam:
\(\displaystyle{ \left|f_{n}\left( x\right) \right| \le M_{n}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \le M_{n}}\) jest zbieżny, to i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } f_{n}( x)\right)}\) jest zbieżny.

Nie mam pomysłu na : \(\displaystyle{ M_{n}}\) no i nie wiem co z tym \(\displaystyle{ |x|<0,99}\)

Napisane mam w poleceniu, żeby udowodnieć z Weiestrassa, ale z tego chyba tylko udowodnię to, że jest nasz szereg funkcyjny zbiezny jednostajnie. A ten przedział to chyba trzeba z tego policzyć:

\(\displaystyle{ R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \left| f_{n}\left( x\right) \right| =\left| nx ^{n} \right| \le n \cdot (0.99) ^{n}}\)

[Insol3nt]

\(\displaystyle{ \left| f_{n}\left( x\right) \right| =\left| nx ^{n} \right| \le n \cdot (0.99) ^{n}}\)

ale chyba mam to dopiero udowodnić: \(\displaystyle{ \left| x\right| <0,999}\) , więc nie wiem czy tak wolno podstawić po prostu za x.

[miodzio1988]

Możesz podstawić

[Insol3nt]

bez podstawiania nie da rady?

[miodzio1988]

Możesz próbować inaczej. Proszę Cię bardzo. To jest najłatwiejszy sposób

[Lorek]

Jak chcesz to możesz i wstawić \(\displaystyle{ 0,999}\) choć prawie żadnej różnicy nie ma.

[Insol3nt]

zgodnie z twierdzeniem mam teraz wykazać że:\(\displaystyle{ \left| nx ^{n} \right| \le n \cdot (0.99) ^{n}}\) jest zbieżne, bo tylko wtedy mój szereg \(\displaystyle{ f_{n}z(x)}\) bedzie zbieżny jednostajnie, tak?

[miodzio1988]

Tak. Masz pokazać zbieżność naszego nowego szeregu

[Insol3nt]

Jedyne co mi przychodzi do głowy to Kryterium Cauchy'ego:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| n \cdot (0.99) ^{n}\right| } = \frac{99}{100}<1}\)

Stąd nasz szereg jest zbieżny, więc szereg o którym mowa w zadaniu, jest zbieżny na mocy kryterium Weiestrassa jednostajnie.

[miodzio1988]

jest git

[Bartuson]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| n \cdot (0.99) ^{n}\right| } = \frac{99}{100}<1}\)

Moze mi ktos wytlumaczyc czemu ta granica jest rowna 0.99?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 0,99^{n} =0}\) stad cala granica powinna byc rowna zero tak?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\)