Matematyka.pl

Jak obliczyć taką granicę ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{5}{n} \right) ^{n}}\)
Obliczałem podobne przykłady ale gdy w liczniku była \(\displaystyle{ 1}\) wtedy po odpowiednim dopasowaniu potęgi do mianownika wyjdzie coś z liczbą \(\displaystyle{ e}\) ale co zrobić gdy w liczniku jest liczba inna niż \(\displaystyle{ 1}\)?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{a}{n} \right) ^{n}=e ^{a}}\)

na forum bylo tysiąc razy to

Możesz z gotowego wzorku lub korzystasz z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{5}{n} = \frac{1}{ \frac{n}{5} }}\)

Poproszę jeszcze o pomoc w rozwiązaniu takich przykładów:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3n-1}{3n+1}\right) ^{n+4}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{\left| 10 ^{n}n \right|} {10 ^{n} } \right)}\)

Skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\)

Ale jak bo jakoś ona mi nie pasuje do tych przykładów dotychczas rozwiązywałem łatwiejsze z liczbą e takie jak ten z pierwszego posta przykład...

No to ja mówię, że pasuje. Proszę zatem z tej definicji skorzystać

Dobra chyba znalazłem trop do pierwszego przykładu:
\(\displaystyle{ \left( \frac{3n+1-2}{3n+1} \right)^{n+4}= \left( 1- \frac{2}{3n+1} \right) ^{n+4}}\)
Ale jak teraz dopasować tą potęgę do mianownika?

ares41 pisze:Możesz z gotowego wzorku lub korzystasz z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{5}{n} = \frac{1}{ \frac{n}{5} }}\)

Tak jak tutaj kolega podpowiadał

Tak może być:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{ \frac{3n+1}{2} } \right)^{n} \cdot \left( 1- \frac{1}{ \frac{3n+1}{2} } \right) ^{4} \right)= \sqrt{\left( 1- \frac{1}{ \frac{3n+1}{2} } \right) ^{ \frac{3n+1}{2}}\div \frac{1}{\left( 1- \frac{1}{ \frac{3n+1}{2} } \right)}}=\sqrt{ \frac{1}{e} \cdot \frac{1- \frac{2}{3n+1} }{1}}= \sqrt{ \frac{ \frac{3n+1}{3n+2} }{e}}\)
yyy zamotałem chyba

\(\displaystyle{ \left( \frac{n+5}{n} \right)^n=\left( 1+\frac{5}{n} \right)^n=\left(\left( 1+\frac{5}{n} \right)^{ \frac{n}{5}} \right)^5}\)

Na identycznej zasadzie u siebie to zrób

A ten przykład to też jest związany z definicją liczby e? Czy inaczej go rozwiązuje się?
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{\left| 10 ^{n}n \right|} {10 ^{n} } \right)}\)

Ten inaczej. Moduł tutaj nie ma znaczenia i skracamy

Aha-- 20 sie 2011, o 23:03 --Tak?:
\(\displaystyle{ \left| n\right| \frac{10 ^{n} }{10 ^{n} }=\left| n\right|}\)

tak, ale moduł nie jest potrzebny