Zbieżność szeregów

[wyplosz]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{(n!) ^{2} -n!}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+(-1) ^{n} }{2 ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n ^{3} \left( \sqrt{2} + \left( -1 \right) ^{n} \right) ^{n} }{3 ^{n} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{2} } \ln \frac{n+1}{n-1}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n-1} \tg \frac{1}{n \sqrt{n} }}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1) ^{n-1} \frac{2 ^{n} \sin ^{2n}x }{n}, \ x \in\mathbb R}\)

Wiem, że wszystkie z nich są zbieżne, ale nie wiem jak to wykazać. Jakie kryteria zastosować?

[Chromosom]

1. kryterium d'Alemberta
2. porównawcze
3. również porównawcze
4. kolejne składniki redukują się ze względu na przeciwne znaki
5. kryterium Leibniza
6. jak wyżej

[sushi]

szereg drugi---> ogranicz z góry i dołu \(\displaystyle{ 2+(-1)^n}\) i widac co potem juz zrobic

w 4 przypadku wrzuc wyciagnij \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) przed znak sumy a potem rozpisz logarytm ilorazu na rożnice logarytmow \(\displaystyle{ \log \frac{a}{b} = \log a - \log b}\)

[wyplosz]

Dziękuję za odpowiedzi,

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \ln \frac{n+1}{n-1}}\)

W czwartym szeregu powinien być \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), mój błąd. Jednak teraz składniki nie zredukują się.

[miodzio1988]

To powinno porównawcze kryterium dać radę

[wyplosz]

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \ln \frac{n+1}{n-1}}\)

Jaki szereg użyć do porównania?
Miałem pomysł żeby spróbować też z d'Alemberta i potem granice z de l'Hospitala?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \ln \frac{n+1}{n-1} = \ln \frac{n-1+2}{n-1}= \ln \left( 1+ \frac{2}{n-1} \right)}\)

I powinieneś skorzystać z pewnego szacowania na logarytm

[Insol3nt]

Czy moje rozwiązanie jest poprawne?

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \ln \frac{n+1}{n-1}
=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ln \frac{n+2}{n}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ln\left( 1+ \frac{2}{n} \right)}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ln\left( 1+ \frac{2}{n} \right)}\)
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{2}{n \sqrt{n} }}\) szereg zbieżny

Z kryterium ilorazowego:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a_n}{b_n} =\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ln\left( 1+ \frac{2}{n} \right) \cdot \frac{n \sqrt{n} }{2} = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n+1} }\frac{ \ln\left( 1+ \frac{2}{n} \right)}{ \frac{2}{n} } \cdot \sqrt{n}=*}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}= 1}\)

\(\displaystyle{ * = \lim_{ n\to \infty }1 \cdot \frac{ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} } = 1}\)

[Chromosom]

tak, można też inaczej:

\(\displaystyle{ x>\ln(1+x)\ \text{dla}\ x>0\\ \\ \frac2n>\ln\left(1+\frac2n\right)}\)

dalsze obliczenia nie są już skomplikowane.