przedział zbieżności szeregu
: 1 sie 2011, o 23:03
Mam wyznaczyć przedział zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}\cdot x^{n}}{n^{2}\cdot \pi^{n}}}\)
żeby to wyznaczyć na samym początku liczę promień, który wyszedł tak: \(\displaystyle{ R=\frac{\pi}{4}}\)
tak więc nasz \(\displaystyle{ x}\) bedzie należał do przedziału \(\displaystyle{ x\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]}\)
i tu pojawia się problem skąd wiemy czy na krańcach będzie przedział otwarty czy zamknięty?
Liczy się zbieżność szeregu podstawiając te wartości za \(\displaystyle{ x}\), prawda?
obliczyłam
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{4^{n}\left(-\frac{\pi}{4}\right)^{n}}{n^{2}\pi^{n}}}\) wychodzi mi z tego \(\displaystyle{ -\pi}\) co wiąże się z tym że szereg jest zbieżny czyli musze dać przedział zamknięty
następnie obliczyłam
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{4^{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}}{n^{2}\pi^{n}}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) czyli szereg rozbieżny i przedział otwarty
w odpowiedziach natomiast jest przedział zamknięty w obu tych przypadkach, co robię źle?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}\cdot x^{n}}{n^{2}\cdot \pi^{n}}}\)
żeby to wyznaczyć na samym początku liczę promień, który wyszedł tak: \(\displaystyle{ R=\frac{\pi}{4}}\)
tak więc nasz \(\displaystyle{ x}\) bedzie należał do przedziału \(\displaystyle{ x\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]}\)
i tu pojawia się problem skąd wiemy czy na krańcach będzie przedział otwarty czy zamknięty?
Liczy się zbieżność szeregu podstawiając te wartości za \(\displaystyle{ x}\), prawda?
obliczyłam
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{4^{n}\left(-\frac{\pi}{4}\right)^{n}}{n^{2}\pi^{n}}}\) wychodzi mi z tego \(\displaystyle{ -\pi}\) co wiąże się z tym że szereg jest zbieżny czyli musze dać przedział zamknięty
następnie obliczyłam
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{4^{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}}{n^{2}\pi^{n}}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) czyli szereg rozbieżny i przedział otwarty
w odpowiedziach natomiast jest przedział zamknięty w obu tych przypadkach, co robię źle?