Witam, męczy mnie takie zadanko :
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{x ^{2 ^{k-1} } }{1-x ^{2 ^{k} } }}\) gdzie \(\displaystyle{ x \neq 1}\)
Wiem, że należy wyliczyć je podstawiając ciąg ( jaki ) ?
Jako, że jest to mój pierwszy post pragnę się również przywitać na forum , Witam.
Jeżeli ktoś miałby chwilkę czasu to proszę o pomoc.
KMDO suma
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
KMDO suma
Ja bym skorzystał ze wzoru skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ (1-x^{2^k})=(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{k-1}})}\)
Następnie rozbił każdy wyraz na:
\(\displaystyle{ \frac{x^2^{k-1}}{1-x^{2^k}}=\frac{1}{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{k-2}})}-\frac{1}{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{k-1}})}}\)
Powinno się coś poskracać wtedy...
\(\displaystyle{ (1-x^{2^k})=(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{k-1}})}\)
Następnie rozbił każdy wyraz na:
\(\displaystyle{ \frac{x^2^{k-1}}{1-x^{2^k}}=\frac{1}{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{k-2}})}-\frac{1}{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^{k-1}})}}\)
Powinno się coś poskracać wtedy...