Matematyka.pl

Zbadać zbieżność ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n}=\left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)...\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\)

Do analizy biorę tylko wyraz ogólny, czyli:

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\)

Wskazówka:
Twój ciąg to:
\(\displaystyle{ a_n= \prod_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k^2} \right) =\prod_{k=1}^{n}\left( \frac{k^2+1}{k^2} \right)= \frac{\prod_{k=1}^{n}\left(k^2+1\right)}{ \left( n! \right)^2 }}\)

No i mam sprawdzić teraz czy jest on monotoniczny i ograniczony?

Nie wiem jaki pomysł ma ares41, ale ja bym proponował skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ 1+x\le e^x}\) i oszacować każdy składnik:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \le e^{\frac{1}{1^2}}e^{\frac{1}{2^2}}\ldots e^{\frac{1}{n^2}}=e^{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{n^2}}<e^2}\)
Ponieważ nasz ciąg jest też rosnący (co łatwo wykazać badając \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)), więc musi być zbieżny.

Q.