Matematyka.pl

O ciągach dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x_n), (y_n)}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_n=+\infty}\), zaś \(\displaystyle{ (y_n)}\) jest ograniczony. Czy wynika stąd, że
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}=+\infty}\)
b) \(\displaystyle{ x_n>y_n}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}y_n-x_n=-\infty}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_ny_n=+\infty}\)

A jakie są Twoje przemyślenia na ten temat?

Wiem, że tylko d) jest nieprawdziwe, ale nie wiem zbytnio, jak poszczególne punkty uzasadniać.

Najlepiej z definicji.

no to zacznij od b)
\(\displaystyle{ y _{n}}\) jest ograniczony niech będzie ograniczony z góry przez jakąś liczbę \(\displaystyle{ M}\)
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }x _{n} = \infty}\) to dla jakiegoś dostatecznie dużego n będzie zawsze \(\displaystyle{ x _{n} >M}\). Zatem \(\displaystyle{ x _{n}>y _{n}}\) dla dostatecznie dużych n

na d) wystarczy znaleźć kontrprzykład

c) jest prawdą. Można skorzystać z twierdzenia o dwóch ciągach, tzn. jeśli od pewnego momentu wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) są mniejsze od wyrazów ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) i ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ - \infty}\), to chyba jasne, co wtedy z granicą \(\displaystyle{ a_n}\).

a) podobnie, tylko w drugą stronę.

a) również nie jest prawdą:

\(\displaystyle{ x_n=n}\)
\(\displaystyle{ y_n=\sin n}\)

Na pewno?

Nie zauważyłem, że chodzi o ciągi dodatnie, ale już poprawiłem posta.