Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin{(\frac{n}{n^2+2})}}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\)?
Moje rozwiązanie wygląda następująco:
Weźmy ciągi:
\(\displaystyle{ a_n=\sin{(\frac{n}{n^2+2})}}\) oraz \(\displaystyle{ b_n=\frac{n}{n^2+2}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin{(\frac{n}{n^2+2})}}{\frac{n}{n^2+2}}=1 \ \ \ (*)}\)
Poza tym szereg
\(\displaystyle{ b_n=\frac{n}{n^2+2}\mathop{>}_{n>1} \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}}\) jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.
Stąd i z \(\displaystyle{ (*)}\) na mocy kryterium ilorazowego szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin{(\frac{n}{n^2+2})}}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \infty}\)
Czy jest to zrobione poprawnie? Jeśli nie, to gdzie robię błędy?
czy szereg jest rozbieżny do nieskończoności?
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
czy szereg jest rozbieżny do nieskończoności?
Jest ok, co najwyżej można dodać drobiazgi - granica jest równa jeden, bo \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+2}}\) zbiega do zera, a zbieżny jest raczej szereg \(\displaystyle{ \sum b_n}\) niż szereg \(\displaystyle{ b_n}\) (chociaż i tak wiadomo o chodzi).
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy