zbieżność szeregu z cześcią całkowitą.

[Funktor]

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{(-1)^{\left\lfloor n\sqrt2 \right\rfloor}}{n}}\)

stawiam tutaj to zadanie jako zagadkę, matematyczne wyzwanie. Chciałem je dać do konkursu ciekawych zadań ale on chyba upadł z miesiąc temu z tego co widzę. Więc do dzieła i życzę miłej zabawy

[max]

Jest zbieżny, co można uzasadnić korzystając brutalnie z jakichś nietrywialnych teorioliczbowych wyników (nierówność Koksmy-Hlawki i szczegóły dot. rozmieszczenia elementów ciągu \(\displaystyle{ \{n\alpha\}_{n=1}^{\infty},}\) dla \(\displaystyle{ \alpha}\) niewymiernych), które pokazują, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}(-1)^{[n\sqrt{2}]} = O(N^{\varepsilon}),}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) (nam wystarczy pokazać to dla pewnego \(\displaystyle{ \varepsilon < 1}\) i zastosować kryterium Dirichleta).

Istnieje do tego jakieś zapisane elementarne rozwiązanie?

[Funktor]

na pewno bardziej elementarne niż twoje sugestie czy spisane.. powiedzmy że znam osobę która jest wstanie z miejsca je odtworzyć ( ja kiedyś widziałem szkic ale go nie odtworzę). Ale czekam dalej ;]

[max]

O, tutaj koledzy coś kombinowali. Jest tam chyba elementarne rozumowanie (czyli rzeczywiście dałoby się), ale nie mam już czasu tego czytać, bo pojutrze egzamin.

[Funktor]

Rozwiązanie którego oczekuje ma być dostępne ( przynajmniej jeśli chodzi o aparat ) dla studenta 1 roku porządnych studiów matematycznych. ;] więc twierdzenia ergodyczne odpadają ;] Zresztą zadanie zostało zaczerpnięte z zadań dla 1 roku matematyki na mimuw. na prawdę nikt nie potrafi? Hmm nie bez powodu ponoć to zadanie zrobiły przez 20 lat 2 osoby

[Wasilewski]

Przecież ostatnie rozwiązanie Macieja87 z wzmiankowanego przez maxa tematu wykorzystuje aparat dostępny studentowi pierwszego roku.
Jak to jest dla studentów pierwszego roku, to pewnie jest to zadanie z gwiazdką od Kuczmy.

[Funktor]

Nie, od Krycha ;]-- 3 lip 2011, o 22:56 --Hmm no faktycznie. swoją droga jak poznam rozwiązanie autorskie, to je tutaj wyłożę.

[max]

U nas na pierwszym roku można było dostać czymś takim:
14735.htm


Swoją drogą chętnie zobaczyłbym publikację, o której pisze Maciej na końcu tego posta.