Wyznaczyć szereg Fouriera na przedziale\(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \pi - |x|}\) i obliczyć jego sumę.
Otrzymałem następujący szereg Fouriera:
\(\displaystyle{ f \sim \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi n} \frac{1-cosn \pi}{n}}\)
ale nie mam pojęcia jak wyznaczyć jego sumę.
Suma szeregu Fouriera
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Suma szeregu Fouriera
Zdaje się, że powinno być raczej coś takiego:
\(\displaystyle{ f(x) \sim \frac{\pi}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2 ( 1 - \cos n \pi )}{\pi n^2} \cos n x = \frac{\pi}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 - (-1)^n}{n^2} \cos n x}\)
A co do obliczenia sumy, to chodzi o podanie jej wartości dla jakiegoś szczególnego \(\displaystyle{ x}\) pokazując przy okazji sumę jakiegoś ciekawego szeregu czy też "odwrócenie" rozumowania, tj. od szeregu do \(\displaystyle{ f(x)}\) (co imho trochę byłoby dziwne)?