Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 13 paź 2010, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: C:\Program Files
- Podziękował: 8 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
Witam,
Mam taki oto szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (-1)^n \frac{12^n}{3^n+8^n}}\)
Kryterium Leibnitz'a niestety odpada, bo granica tego wyrazu jest różna od 0.
Spróbowałem użyć kryterium Cauchy'ego, ale tutaj mam problem, ponieważ nie wiem jak potraktować \(\displaystyle{ ((-1)^n) ^{(1/n)}}\).
Wolfram sugeruje że wynikiem powyższego wyrażenia jest 1, a ja chciałbym się dowiedzieć, czemu nie -1 .
PS. Gdy przyjmiemy, że to jest 1, to wtedy granica wychodzi ładnie \frac{3}{2} , a więc szereg jest rozbieżny. Z drugiej strony po wklepaniu tego szeregu do wolframa, pokazuje jakiś tam wynik, więc z tego wynika że jest zbieżny. Proszę o jakieś sugestie .
Mam taki oto szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (-1)^n \frac{12^n}{3^n+8^n}}\)
Kryterium Leibnitz'a niestety odpada, bo granica tego wyrazu jest różna od 0.
Spróbowałem użyć kryterium Cauchy'ego, ale tutaj mam problem, ponieważ nie wiem jak potraktować \(\displaystyle{ ((-1)^n) ^{(1/n)}}\).
Wolfram sugeruje że wynikiem powyższego wyrażenia jest 1, a ja chciałbym się dowiedzieć, czemu nie -1 .
PS. Gdy przyjmiemy, że to jest 1, to wtedy granica wychodzi ładnie \frac{3}{2} , a więc szereg jest rozbieżny. Z drugiej strony po wklepaniu tego szeregu do wolframa, pokazuje jakiś tam wynik, więc z tego wynika że jest zbieżny. Proszę o jakieś sugestie .
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 13 paź 2010, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: C:\Program Files
- Podziękował: 8 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
Dzięki za odpowiedzi.
Przy warunku koniecznym wychodzi \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{0}}\) czyli naprzemiennie + i - nieskończoność? Więc wygląda na to że będzie rozbieżny.
Ok. Zapamiętam żeby nie tykać kryt. Cauchy'ego jeśli mamy \(\displaystyle{ (-1)^n}\) .
Przy warunku koniecznym wychodzi \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{0}}\) czyli naprzemiennie + i - nieskończoność? Więc wygląda na to że będzie rozbieżny.
Ok. Zapamiętam żeby nie tykać kryt. Cauchy'ego jeśli mamy \(\displaystyle{ (-1)^n}\) .
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
Nie o to chodzi, że nie możesz tykać, bo możesz, tylko o to, żebyś pamiętał, że granica z kryterium w pełnej wersji wygląda tak:Ok. Zapamiętam żeby nie tykać kryt. Cauchy'ego jeśli mamy (-1)^n .
\(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)
a że czasem da się uprościć do \(\displaystyle{ \lim \sqrt[n]{a_n}}\) to nie znaczy, że zawsze.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
Bardziej chodzi o ten moduł, który likwiduje \(\displaystyle{ -1,}\) niż o kwestię \(\displaystyle{ \lim \slash \limsup}\) :]
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
No, dokładnie, ale tak ogólnie napisałem (swoją drogą to w życiu chyba tylko raz czy dwa spotkałem się z koniecznością użycia \(\displaystyle{ \limsup}\) zamiast \(\displaystyle{ \lim}\)).
A wracając do zadania to ten warunek konieczny jakoś dziwnie sprawdzony.
A wracając do zadania to ten warunek konieczny jakoś dziwnie sprawdzony.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 13 paź 2010, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: C:\Program Files
- Podziękował: 8 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
Czemu dziwnie ? Podzieliłem wszystko przez największą liczbę, czyli \(\displaystyle{ 12^n}\)Lorek pisze:No, dokładnie, ale tak ogólnie napisałem (swoją drogą to w życiu chyba tylko raz czy dwa spotkałem się z koniecznością użycia \(\displaystyle{ \limsup}\) zamiast \(\displaystyle{ \lim}\)).
A wracając do zadania to ten warunek konieczny jakoś dziwnie sprawdzony.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a
To świetnie, ale dlaczego przy granicy zostało Ci "n" w wykładniku? I ja bym podzielił wszystko przez \(\displaystyle{ 8^n}\), może wtedy coś zobaczysz.