Suma szeregu z silnią

[tomazoo28]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)!}}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \sigma = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)!} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \cdot n!} - \underbrace{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)!} }_{e-2}}\)

Niech dalej \(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n \cdot n!}}\), wtedy \(\displaystyle{ S'(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n+1)!} = \frac{e^x - 1}{x}}\).

Stąd:

\(\displaystyle{ \sigma = 2 - e + \int_0^1 \frac{e^x - 1}{x} \; \mbox d x}\)

można pokazać, że ta całka wynosi \(\displaystyle{ -\gamma + \mbox{Ei}\,(1)}\), choć wiele to nie zmienia.

[tomazoo28]

No właśnie, czyli nie da rady w funkcjach elementarnych... Dzięki