Szereg z sinusem

adamss1936 · Post autor: **adamss1936** » 23 cze 2011, o 22:26

Dobry wieczór
Przedstawiam 2 sprawiające mi problem szeregi. wiem że pierwszys jest "zbieżny jako przemienny i spełnia kryterium Leibniza", a drugi "rozbieżny".

\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \sin \left( n+ \frac{1}{n} \right) \pi \\
\\
\sum_{ \infty }^{n=1} \sin 2 \left( n+ \frac{1}{n} \right) \pi \\
\text{próbowałem tak}
\left| \sin{n}\right| \le 1 \\
\text{z czego by wynikało że oba są bezwzględnie rozbieżne ? dlaczego tak nie mogę ?}}\)

Dziękuje

wszamol · Post autor: **wszamol** » 23 cze 2011, o 22:33

A warunek konieczny zbieżności jest spełniony?

adamss1936 · Post autor: **adamss1936** » 23 cze 2011, o 22:52

w pierwszym wg mnie tak bo \(\displaystyle{ n \in N}\) zatem \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sin \left(n+ \frac{1}{n} \right)\pi \to0}\)
a w drugim będzie tak samo.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 cze 2011, o 22:59

Może warto skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sin (n\pi+x)=(-1)^n\sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin( 2n\pi+x)=\sin x}\).

adamss1936 · Post autor: **adamss1936** » 23 cze 2011, o 23:16

Lorek pisze:Może warto skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sin (n\pi+x)=(-1)^n\sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin( 2n\pi+x)=\sin x}\).

\(\displaystyle{ n \in N \text{? jeśli tak to:}\ \sin(n\pi+x) \ oraz \ \sin(2n\pi+x) \text{wydają mi się być równe} \ \sin{x}}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 23 cze 2011, o 23:23

No naturalne, a jakie Twierdzisz, że \(\displaystyle{ \sin(n\pi +x)=\sin x}\)? No to sprawdź, chociażby dla n=1.

adamss1936 · Post autor: **adamss1936** » 23 cze 2011, o 23:55

aha ! rozumiem ! tak tak !
teraz się jeszcze zastanawiam jak z tego skorzystać... tak ! chyba rozumiem...

moim x jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\)
wtedy 1 szereg spełnia wszystkie kryteria Leibniza.

2 szereg nie ma \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) bo ta 2-ójka sprawia, że będzie zawsze że tak powiem - parzyste \(\displaystyle{ \pi}\) i zawsze będzie \(\displaystyle{ sin( \frac{\pi}{n} )}\) a to zrobię za pomocą aksjo.. jakiegoś tam - chodzi mi oto, że policzę szereg \(\displaystyle{ b_{n}= \frac{\pi}{n}}\) a z tego dostanę z Dirychleta, że jest rozbieżny czyli tamten też jest rozbieżny !
Zgadza się ?

Dziękuje, nie wiedziałem, że jest takie coś \(\displaystyle{ \sin(n\pi+x)....}\)
mogę tu gdzieś znaleźć więcej takich.. udogodnień ?

wszamol · Post autor: **wszamol** » 24 cze 2011, o 00:05

adamss1936 pisze:w pierwszym wg mnie tak bo \(\displaystyle{ n \in N}\) zatem \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sin \left(n+ \frac{1}{n} \right)\pi \to0}\)

No nie wiem czy to jest prawda.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 24 cze 2011, o 00:10

za pomocą aksjo.. jakiegoś tam

Za pomocą aksjomatu to raczej nie, ale dobrze kombinujesz

chodzi mi oto, że policzę szereg \(\displaystyle{ b_{n}= \frac{\pi}{n}}\) a z tego dostanę z Dirychleta, że jest rozbieżny czyli tamten też jest rozbieżny !

Z Dirichleta? Może po prostu z tego że to jest szereg harmoniczny, tyle że pomnożony przez \(\displaystyle{ \pi}\).

mogę tu gdzieś znaleźć więcej takich.. udogodnień ?

Jak będziesz szukał to możesz wiele znaleźć

wszamol, jak to \(\displaystyle{ \pi}\) jest w argumencie sinusa, a z wcześniejszych postów wynika, że jest, to to jest prawda.

wszamol · Post autor: **wszamol** » 24 cze 2011, o 00:17

Lorek pisze: wszamol, jak to \(\displaystyle{ \pi}\) jest w argumencie sinusa, a z wcześniejszych postów wynika, że jest, to to jest prawda.

A ja ciągle patrzę jakby był poza sinusem Jeśli jest w środku to ok, sorki za zamieszanie ;p