Strona 1 z 1
Wyznacz sumę szeregu
: 21 cze 2011, o 20:22
autor: SayWhat
Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacz sumę szeregu:
\(\displaystyle{ x-x^3+x^5-x^7+...}\)
\(\displaystyle{ \left|x\right|<1}\)
Za bardzo nie wiem jak się za to zabrać... Doszedłem jedynie do tego, że szereg ten można zapisać jako:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^ \infty (-1)^{n-1} x^{2n-1}}\)
Byłbym bardzo wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki. Z góry dziękuję.
Wyznacz sumę szeregu
: 21 cze 2011, o 20:26
autor: abc666
Skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } x^i=\frac{1}{1-x}}\)
Zamiast \(\displaystyle{ x}\) wstaw \(\displaystyle{ -x^2}\) i pomnóż wszystko przez \(\displaystyle{ x}\).
Wyznacz sumę szeregu
: 21 cze 2011, o 20:40
autor: SayWhat
Wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+ x^{2} }}\)
Jednak nie rozumiem dwóch rzeczy... Skąd ten wzór? Czy jest to ogólny wzór który można zastosować dla szeregów naprzemiennych? Dlaczego podstawiamy akurat \(\displaystyle{ -x^{2}}\)?
Wyznacz sumę szeregu
: 21 cze 2011, o 20:43
autor: Althorion
Jest to wzór na sumę szeregu geometrycznego. A wstawiamy \(\displaystyle{ -x^2}\)... żeby wyszło. Dla innych nie wychodzi.
Wyznacz sumę szeregu
: 24 cze 2011, o 11:20
autor: Waq
Wystarczy objaśnić wzór:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } x^i=\frac{ 1 }{1-q}}\)
gdzie \(\displaystyle{ q}\) to iloraz ciągu geometrycznego (w tym przypadku \(\displaystyle{ -x^{2}}\)), co łatwo można zauważyć patrząc na kolejne wyrazy, \(\displaystyle{ x \rightarrow -x^{3}}\), wzoru możesz używać zawsze gdy masz ciąg geometryczny, wtedy najlepiej rozpisujesz sobie kilka kolejnych wyrazów i podstawiasz.