Zbadać zbieżność szeregu z definicji

[PAV38]

Zbadać zbieżność szeregu z definicji:
Szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ +\infty } \frac{1}{n(n+1)}}\)

\(\displaystyle{ S_{1}= a_{1}= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ S_{2}= a_{1}+a_{2}= \frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}=1-\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ S_{3}= a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}=1-\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ S_{4}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{5}=1-\frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ S_{n}=1-\frac{1}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ S_{n}\to + \infty }S_{n}=\lim_{ S_{n}\to + \infty }1-\frac{1}{n+1}=1}\)
Wniosek:
Szereg jest zbieżny

Czy to jest dobrze?

[Althorion]

Brakuje dowodu, że faktycznie \(\displaystyle{ S_n}\) jest takie, jak napisałeś. Zwłaszcza, że minimalnie się od Twojego różni.

[PAV38]

A jak to udowodnić?

[Althorion]

Przez indukcję.

[PAV38]

Mhm. Ale rozumowanie jest dobre, tylko trzeba dowieść ogólnego wzoru tak?

Czy w takim razie na mocy definicji szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } ln \frac{n+1}{n}}\)

Jest rozbieżny?

[Althorion]

Mhm. Ale rozumowanie jest dobre, tylko trzeba dowieść ogólnego wzoru tak?

Rozumowanie było niepełne, właśnie przez brak tego dowodu. Z nim będzie już poprawne.

Tak, jest to szereg rozbieżny.

[PAV38]

Ad.1
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{n}{n+1}}\)
Założenie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{12}+...+ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}}\)
Teza:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{12}+...+ \frac{1}{n(n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}}\)
Krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ L=\frac{1}{2}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{12}+...+ \frac{1}{n(n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+1)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{ (n+1)^{2} }{(n+1)(n+2)}= \frac{n+1}{n+2}}\)
To chyba już będzie dobrze.

Został mi ostatni przykład z tego zadania i mam problem:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } (-1)^{n}}\)

Jak to rozstrzygnąć z definicji?

[Zordon]

Z definicji wynika w sposób trywialny warunek konieczny zbieżności: wyraz ogólny zbiega do zera. Natomiast tutaj mamy \(\displaystyle{ (-1)^n}\) nie zbiega do 0.