Witam!
Rozpacz bierze górę i zdecydowałem się zapytać:
Czy w tym rozwiązaniu nie ma błędu?
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)
Jeśli nie ma, to czy mógłbym prosić o pokazanie kroków szukania ten sumy częściowej?
Pozdrawiam
Znajdywanie sumy częściowej szeregu (konkretny przykład)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 12 cze 2011, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znajdywanie sumy częściowej szeregu (konkretny przykład)
Jest błąd, powinno wyjść \(\displaystyle{ n+1-\frac{n}{n+1}}\). Ale jesteś pewien, że dobrze przepisałeś i że sumowane wyrażenie nie zależy od \(\displaystyle{ k}\)?filipjaskolski pisze:Czy w tym rozwiązaniu nie ma błędu?
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 12 cze 2011, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Znajdywanie sumy częściowej szeregu (konkretny przykład)
Argh! Oczywiście, że zmienna pod sumą to k, czyli w pierwszym poście winno być:
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k} -\frac{1}{k+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)
Dzięki piękne za odpowiedź. Korzystając z okazji, zadałbym identyczne pytanie do takiego przykładu:
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}(2k-1) = ... = (-1)^{n+1}n}\)
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k} -\frac{1}{k+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)
Dzięki piękne za odpowiedź. Korzystając z okazji, zadałbym identyczne pytanie do takiego przykładu:
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}(2k-1) = ... = (-1)^{n+1}n}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 12 cze 2011, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Znajdywanie sumy częściowej szeregu (konkretny przykład)
Dobrze dla autora skryptu, nie najlepiej dla mnie.
Czy mógłbyś wyjaśnić na pierwszym przykładzie dlaczego? Rozumiem pierwszy czynnik sumy: (n), jest w końcu n jedynek. Ale dlaczego suma n-pierwszych elementów ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) przeobraża się w zwykłą jedynkę, a \(\displaystyle{ \frac{-1}{n+1}}\) pozostaje nietknięte?
Czy mógłbyś wyjaśnić na pierwszym przykładzie dlaczego? Rozumiem pierwszy czynnik sumy: (n), jest w końcu n jedynek. Ale dlaczego suma n-pierwszych elementów ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) przeobraża się w zwykłą jedynkę, a \(\displaystyle{ \frac{-1}{n+1}}\) pozostaje nietknięte?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znajdywanie sumy częściowej szeregu (konkretny przykład)
Spójrz - sumujemy wyrażenia \(\displaystyle{ \frac 1k - \frac{1}{k+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Bez symbolu sumy możemy zapisać to tak:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac 12\right) + \left( \frac 12 - \frac 13 \right) + \left( \frac 13- \frac 14 \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)}\)
W tej sumie skróci się prawie wszystko (widać dlaczego?) i zostanie tylko jedynka z pierwszego nawiasu i \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) z ostatniego.
Q.
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac 12\right) + \left( \frac 12 - \frac 13 \right) + \left( \frac 13- \frac 14 \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)}\)
W tej sumie skróci się prawie wszystko (widać dlaczego?) i zostanie tylko jedynka z pierwszego nawiasu i \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) z ostatniego.
Q.