Znajdywanie sumy częściowej szeregu (konkretny przykład)

[filipjaskolski]

Witam!

Rozpacz bierze górę i zdecydowałem się zapytać:

Czy w tym rozwiązaniu nie ma błędu?

\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)

Jeśli nie ma, to czy mógłbym prosić o pokazanie kroków szukania ten sumy częściowej?

Pozdrawiam

[Qń]

Czy w tym rozwiązaniu nie ma błędu?
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)

Jest błąd, powinno wyjść \(\displaystyle{ n+1-\frac{n}{n+1}}\). Ale jesteś pewien, że dobrze przepisałeś i że sumowane wyrażenie nie zależy od \(\displaystyle{ k}\)?

Q.

[filipjaskolski]

Argh! Oczywiście, że zmienna pod sumą to k, czyli w pierwszym poście winno być:
\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k} -\frac{1}{k+1}\right) = ... = n + 1 - \frac{1}{n+1}}\)

Dzięki piękne za odpowiedź. Korzystając z okazji, zadałbym identyczne pytanie do takiego przykładu:

\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}(2k-1) = ... = (-1)^{n+1}n}\)

[Qń]

W takim razie odpowiedź zarówno w pierwszym jak i w drugim przykładzie jest prawidłowa.

Q.

[filipjaskolski]

Dobrze dla autora skryptu, nie najlepiej dla mnie.

Czy mógłbyś wyjaśnić na pierwszym przykładzie dlaczego? Rozumiem pierwszy czynnik sumy: (n), jest w końcu n jedynek. Ale dlaczego suma n-pierwszych elementów ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) przeobraża się w zwykłą jedynkę, a \(\displaystyle{ \frac{-1}{n+1}}\) pozostaje nietknięte?

[Qń]

Spójrz - sumujemy wyrażenia \(\displaystyle{ \frac 1k - \frac{1}{k+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Bez symbolu sumy możemy zapisać to tak:
\(\displaystyle{ \left( 1- \frac 12\right) + \left( \frac 12 - \frac 13 \right) + \left( \frac 13- \frac 14 \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)}\)
W tej sumie skróci się prawie wszystko (widać dlaczego?) i zostanie tylko jedynka z pierwszego nawiasu i \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) z ostatniego.

Q.