Granica ciągu i idiota

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

Przede wszystkim witam wszystkich po raz pierwszy na forum.
Mam ogromny problem z zagadnieniem z tematu i nie mogę za cholerę tego załapać! Czy mógłbym Was poprosić o rozwiązanie poniższego zadania wraz z dokładnym opisem krok po kroku? Jakieś linki do "tutoriali" z łopatologicznym tłumaczeniem także byłyby bardzo pomocne

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } (3n - \sqrt{9n ^{2} + n})}\)
michu88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 3miasto

Granica ciągu i idiota

Post autor: michu88 »

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3n- \sqrt{9n^2+n})= \lim_{n \to \infty }(3n-\sqrt{n^2(9+ \frac{1}{n})})= \lim_{n \to \infty }(3n-n\sqrt{9+\frac{1}{n}})}\)

Wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \rightarrow \infty}\), zatem wyrazenie \(\displaystyle{ \sqrt{9+\frac{1}{n}} \rightarrow \sqrt{9}=3}\).

Mamy wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3n-3n)=0}\)
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

Ok, próbuje rozwiązać tym samym sposobem inne zadanie:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3 \sqrt{n} - \sqrt{3n ^{2} + 7n}}\)

No i krok po kroku:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3 \sqrt{n} - \sqrt{ n ^{2}(3 + \frac{7}{n}} ))}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3 \sqrt{n} - n \sqrt{ 3 + \frac{7}{n}} )}\)

No i tu nie bardzo wiem co dają mi modyfikacje które wprowadziłem, bo skoro \(\displaystyle{ \frac{7}{n}}\) to \(\displaystyle{ \infty}\) zostaje mi:

\(\displaystyle{ 3 \sqrt{n} - n\sqrt{3}}\)
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: Quaerens »

\(\displaystyle{ a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}}\)

Ten wzór zastosuj.-- 15 kwietnia 2011, 18:22 --
michu88 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3n- \sqrt{9n^2+n})= \lim_{n \to \infty }(3n-\sqrt{n^2(9+ \frac{1}{n})})= \lim_{n \to \infty }(3n-n\sqrt{9+\frac{1}{n}})}\)

Wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \rightarrow \infty}\), zatem wyrazenie \(\displaystyle{ \sqrt{9+\frac{1}{n}} \rightarrow \sqrt{9}=3}\).

Mamy wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (3n-3n)=0}\)
Co z wynikiem? Podziel się
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

@damianplflow:
Korzystając z wzoru dotarłem do takiego momentu:

\(\displaystyle{ \frac{6n}{3 \sqrt{n} + n \sqrt{3} }}\)

W ogóle nie rozumiem w jakim kierunku to zmierza
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: norwimaj »

LarryWu pisze:@damianplflow:
Korzystając z wzoru dotarłem do takiego momentu:

\(\displaystyle{ \frac{6n}{3 \sqrt{n} + n \sqrt{3} }}\)
Policz jeszcze raz, bo chyba nie tak.-- 15 kwi 2011, o 18:44 --Tylko zastosuj wzór do początkowego problemu, a nie do tego co napisał michu88.
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

Hmm....
Chodzi o to abym wzoru użył już na samym początku?
Czyli po jego zastosowaniu mam:

\(\displaystyle{ \frac{(3 \sqrt{n})^{2} - (\sqrt{ 3n ^{2} + 7n})^{2} }{3 \sqrt{n} + \sqrt{3n ^{2} + 7n} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{9n -3n ^{2} +7n}{3 \sqrt{n} + \sqrt{3n ^{2} + 7n}}}\)

W dobrym kierunku zmierzam?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: norwimaj »

Powinno być \(\displaystyle{ -7n}\) w liczniku. Następnie możesz skrócić ułamek przez \(\displaystyle{ n}\).

Pierwsze zadanie też zrób tą metodą, bo jest poprawna, w przeciwieństwie do metody, za pomocą której wyszło \(\displaystyle{ 0}\).
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

Dobrze, ale co z mianownikiem? Mam go rozwiązać tak jak pokazywał michu88?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: norwimaj »

W żadnym wypadku. Po skróceniu przez \(\displaystyle{ n}\) mamy w mianowniku \(\displaystyle{ \frac{3}{\sqrt{n}}+\sqrt{3+\frac{7}{n}}\), co dąży do \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Spójrz jeszcze, co się dzieje z licznikiem.
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

Zostajemy z tym:

\(\displaystyle{ \frac{2-3n}{\frac{3}{\sqrt{n}}+\sqrt{3+\frac{7}{n}}}}\)

Mój problem polega głównie na tym, że tak naprawdę nie rozumiem czego szukam. W przypadku np. \(\displaystyle{ n \rightarrow 2}\) mógłbym podstawiać 2 do wzoru i wszystko wydawałoby mi się bardziej oczywiste a tutaj naprawdę się gubię.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: norwimaj »

Jesteś już bardzo blisko. U nas \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności, więc \(\displaystyle{ 2-3n}\) dąży do \(\displaystyle{ -\infty}\). W zasadzie też polega to na podstawieniu nieskończoności. Na nieskończonościach możemy wykonywać działania, np.
\(\displaystyle{ 3\cdot(+\infty)=+\infty}\),
\(\displaystyle{ 2-(+\infty)=-\infty}\),

\(\displaystyle{ \sqrt{+\infty}=+\infty}\),

\(\displaystyle{ \frac{1}{+\infty}=0}\).

Nie wszystkie działania jednak są określone, np.
\(\displaystyle{ +\infty - (+\infty) = ?}\)

Dlatego nie można było tego przykładu zrobić od razu, tylko trzeba coś przekształcać. Można było też trochę prościej w tym przykładzie, ale ta metoda jest standardowa i do przykładu pierwszego nie znam innej równie prostej, poprawnej metody.

Ostatecznie mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2-3n}{\frac{3}{\sqrt{n}}+\sqrt{3+\frac{7}{n}}}=
\frac{2-\infty}{\frac{3}{\sqrt{\infty}}+\sqrt{3+\frac{7}{\infty}}}=
\frac{-\infty}{0+\sqrt{3+0}}=\frac{-\infty}{3}=-\infty}\)
.
LarryWu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 15 kwie 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: LarryWu »

No w końcu jesteśmy w domu! Udało mi się rozwiązać inne podobne zadanie dzięki Twoim tłumaczeniom i nareszcie łapię. I nie wiem już nawet czego nie rozumiałem wcześniej, bo to takie oczywiste
Dziękuję bardzo!
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Granica ciągu i idiota

Post autor: Dasio11 »

Gdyby się dobrze przyjrzeć, granicę można było policzyć wykonując nieco mniej przekształceń. Mianowicie:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 3 \sqrt{n} - \sqrt{3n^2 + 7n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \left( 3 - \sqrt{3n + 7} \right) = \Big[ \infty \cdot (- \infty ) \Big] = -\infty}\)


Swoją drogą: LarryWu, czy mógłbyś się upewnić, że przykład nie wyglądał jak poniżej?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n \sqrt{3} - \sqrt{3n^2 + 7n}}\)
ODPOWIEDZ