szereg harmoniczny

okon · Post autor: **okon** » 18 lut 2011, o 01:24

Podać dwa dowody rozbieżności szeregu harmonicznego.

Jakie to mogą być dowody?... Z żadnego kryterium raczej nie poleci(czyt. d'Ala. Cauchy'ego, ilorazowe,calkowe...)
Pewnie inaczej do tego trzeba podejść, ale jak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 lut 2011, o 01:26

Lenistwo boli? W google wystarczy hasło wpisać. Na Ważniaku masz dowód. Na forum masę dowodów. W książkach różnych...no naprawdę

Lorek · Post autor: **Lorek** » 18 lut 2011, o 10:32

Z żadnego kryterium raczej nie poleci(czyt. d'Ala. Cauchy'ego, ilorazowe,calkowe...)

A sprawdzałeś? Bo z jednego z nich 'poleci'.

okon · Post autor: **okon** » 18 lut 2011, o 11:01

chyba całkowe, bo wychodzi \(\displaystyle{ \ln(n)}\) wiec nieskończoność.tak?

a drugi dowód?
Bez takiego długiego rozpisywania, co widziałem na innych stronach.

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 18 lut 2011, o 11:09

Można pokazać rozbieżność tego szeregu w taki oto sposób:
Przypuśćmy, że szereg harmoniczny jest zbieżny.\(\displaystyle{ \lim s_n=s}\). Wtedy \(\displaystyle{ \lim s_{2n}-s_n=0}\). Jednak:
\(\displaystyle{ s_{2n}-s_n=\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \ge n \cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}}\).
Sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ \lim(s_{2n}-s_n)=0}\).

ardianmucha · Post autor: **ardianmucha** » 18 lut 2011, o 11:14

Można też rozpisać kolejne wyrazy, pogrupować itd. (patrz dowód Mikołaja z Oresme)

okon · Post autor: **okon** » 18 lut 2011, o 11:28

\(\displaystyle{ s_{2n}-s_n=\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \ge n \cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}}\)

jak to rozpisales?

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 18 lut 2011, o 11:34

ale czego tu konkretnie nie rozumiesz?

okon · Post autor: **okon** » 18 lut 2011, o 11:43

tego jak rozpisałeś \(\displaystyle{ s_{2n}-s_n}\) lewa strona nierównosci, a potem to całość pomnożona przez \(\displaystyle{ n}\)

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 18 lut 2011, o 11:59

no to \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \ge n \cdot \frac{1}{2n}}\), wynika stąd, że biorę najmniejszy składnik sumy po lewej stronie i mnożę przez ilość składników \(\displaystyle{ n}\) stąd na pewno nierówność jest spełniona, a dalej prowadzi to do sprzeczności.

Post autor: **Dasio11** » 18 lut 2011, o 15:57

Można też nie wprost: załóżmy, że szereg harmoniczny jest zbieżny i oznaczmy sumę przez \(\displaystyle{ q.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ q=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} \right) > \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} = q}\)

Sprzeczność.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 sty 2021, o 16:41

\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{2^n -1} > \frac{n}{2} }\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 31 sty 2021, o 22:37

Jak już ten temat został podbity, to z nierówności
\(\displaystyle{ x> \ln(1+x), \ x>0}\) można łatwo wycisnąć
\(\displaystyle{ H_{2n-1}>\ln n}\):
wystarczy dodać stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ x=1, \ \frac{1}{2}, \ldots \frac{1}{2n-1}}\) i skorzystać z tego, że suma logarytmów to logarytm iloczynu.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 lut 2021, o 21:21

Z tw. Lagrange'a
`\ln n - \ln(n-1)=1/\xi>1/n`

Dodajemy stronami i już

Dodano po 1 dniu 10 godzinach 45 minutach 57 sekundach:
To odkryłem przed chwilą w Elementary inequalities Mitrinovica:

Pokazać, że dla dowolnego `n>1` zachodzi

\(\displaystyle{ \frac1n+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n^2}>1}\)

Prosty dowód zostawiam chętnym.

Stąd wynika natychmiast rozbieżność szeregu harmonicznego.

Matematyka.pl