Szereg pierwiastek z n w potędze

eso32 · Post autor: **eso32** » 28 sty 2011, o 14:44

Cześć,
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{ \sqrt{n} }}}\)

muszę zbadać zbieżność wiem że:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} < n}\) ale to nic nie daje przy porównaniu z \(\displaystyle{ \frac{1}{5^{n}}}\)
Jakieś pomysły?

pozdrawiam

meninio · Post autor: **meninio** » 28 sty 2011, o 17:34

Jak nie??
Przecież to jest wtedy szereg geometryczny, którego sumę można policzyć ze znanego wzoru.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 28 sty 2011, o 17:36

Tak, tyle że zbieżny

eso32, to jedyne kryterium jakie znasz? Spróbuj z d'Alemberta.

Zordon · Post autor: **Zordon** » 28 sty 2011, o 19:05

dAlambert jest za słaby tutaj (działa tylko gdy szereg zachowuje się geometrycznie). Ale są dwie inne opcje (ja znam dwie) i obie się nieco brzydkie:
1) najpierw kryterium zagęszczania a potem Cauchy albo dAlambert
2) dla odpowiednio dużych n: \(\displaystyle{ 5^{\sqrt{n}}>n^2}\) i porównawcze

eso32 · Post autor: **eso32** » 28 sty 2011, o 22:10

Znasz inne kryteria tylko to o którym napisałem wyglądało najbardziej obiecująco, tamte kiepsko wyszły (d'Alemberta = 1 czyli nic nie wyszło) dlatego o tym nawet nie wspominałem z Cauch-ego podobnie zaraz sprawdzę podpowiedzi Zordona.