\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3}{2n(2n+1)}}\)
proszę o szybką pomoc
-- 12 sty 2011, o 22:06 --
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left[ \frac{3}{2n} - \frac{3}{2n+1}\right]}\)
co dalej?
Wyznaczyć sumę podanego szeregu
Wyznaczyć sumę podanego szeregu
no tak
\(\displaystyle{ Sk= \sum_{n=1}^{k} \left( \frac{3}{2n} - \frac{3}{2n+1} \right) = \frac{3}{2} - 1 + \frac{3}{4} - \frac{3}{5} \cdot \cdot \cdot + \frac{3}{2k} - \frac{3}{2k+1} \rightarrow ??}\)
pomoże ktoś ?
\(\displaystyle{ Sk= \sum_{n=1}^{k} \left( \frac{3}{2n} - \frac{3}{2n+1} \right) = \frac{3}{2} - 1 + \frac{3}{4} - \frac{3}{5} \cdot \cdot \cdot + \frac{3}{2k} - \frac{3}{2k+1} \rightarrow ??}\)
pomoże ktoś ?
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wyznaczyć sumę podanego szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{3}{2n} - \frac{3}{2n+1} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \ldots \right) \stackrel{(*)}{=} 3 \cdot (1- \ln 2)}\)
\(\displaystyle{ (*)}\): korzystamy z faktu że suma takiego szeregu (chyba nazywany jest szeregiem Leibniza - nie jestem pewien) wynosi \(\displaystyle{ \ln 2}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots = \ln 2}\),
który wynika z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ y=\ln x}\) w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_0=2}\).
\(\displaystyle{ (*)}\): korzystamy z faktu że suma takiego szeregu (chyba nazywany jest szeregiem Leibniza - nie jestem pewien) wynosi \(\displaystyle{ \ln 2}\):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots = \ln 2}\),
który wynika z rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ y=\ln x}\) w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_0=2}\).