Zbadać zbieżność

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
alchemik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 285
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 65 razy

Zbadać zbieżność

Post autor: alchemik »

\(\displaystyle{ \sum \frac{n^{n}}{e^{n}n!}}\)
Awatar użytkownika
Gacuteek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1075
Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 272 razy

Zbadać zbieżność

Post autor: Gacuteek »

Skorzystaj z Kryterium Raabego. Aby obliczyć granicę zawartą w tym twierdzeniu możesz zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{n}}\).
Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
alchemik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 285
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 65 razy

Zbadać zbieżność

Post autor: alchemik »

Mhm... z tym podstawieniem nic mi nie wychodzi...
A z tego kryterium dostaje do policzenia granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } n( \frac{n^{n}e}{(n+1)^{n}}-1)}\)
Awatar użytkownika
Gacuteek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1075
Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 272 razy

Zbadać zbieżność

Post autor: Gacuteek »

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } n( \frac{n^{n}e}{(n+1)^{n}}-1)=\lim_{ n \to \infty } n( \frac{e}{(1+\frac{1}{n})^{n}}-1)}\)
Niech \(\displaystyle{ t=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0 }\frac{1}{t}(\frac{e}{(1+t)^{\frac{1}{t}}}-1}){x}}\stackrel{[H]}{=}\frac{1}{2}}\)
Zatem na mocy Kryterium Raabego szereg jest rozbieżny.

MG
ODPOWIEDZ