Udowodnienie monotoniczności ciągu eulera
-
alchemik
- Użytkownik
- Posty: 285
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 65 razy
Udowodnienie monotoniczności ciągu eulera
Widziałem kiedyś dowód na monotoniczność ciągu eulerowskiego, wykorzystujący nierówności między średnimi. Zna ktoś ten dowód?
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Udowodnienie monotoniczności ciągu eulera
Prosto z wikipedii:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{ \overbrace{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) + \left( 1+\frac{1}{n} \right) + \ldots + \left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n \ \text{razy}} +1}{n+1} \right)^{n+1} > \left( \sqrt[n+1]{ \underbrace{\left(1+\frac{1}{n} \right)\left(1+\frac{1}{n} \right) \ldots \left(1+\frac{1}{n} \right) }_{n \ \text{razy}} \cdot 1} \right)^{n+1} =\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = \left( \frac{ \overbrace{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) + \left( 1+\frac{1}{n} \right) + \ldots + \left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n \ \text{razy}} +1}{n+1} \right)^{n+1} > \left( \sqrt[n+1]{ \underbrace{\left(1+\frac{1}{n} \right)\left(1+\frac{1}{n} \right) \ldots \left(1+\frac{1}{n} \right) }_{n \ \text{razy}} \cdot 1} \right)^{n+1} =\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n}\)