Promień zbieżności

[krfotok]

Mam taki oto szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{2n}{3n+2}\right) ^{2n} \cdot x ^{n}}\)
Oczywiście robię podstawienie: \(\displaystyle{ x ^{n}=t}\)
I zaczynam liczyć, ile wynosi R. Teraz moje pytanie brzmi:mam liczyć to z Cauchego? Wtedy za nawiasem pozostaje mi sam kwadrat, czyli potęguję to wyrażenie i skracam, przez najwyższą potęgę n?
Czy mam rację?

Znalazłam też na tym forum takie wyrażenie:\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[n]{1} }{ \sqrt[n]{n+2} } =1 ;
\frac{ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} } =1}\)
Skąd to się bierze?

-- 10 wrz 2010, o 19:15 --

Czy mogę liczyć na wsparcie kogoś mądrzejszego od siebie?

-- 11 wrz 2010, o 11:22 --

Czy mógłby mi ktoś pomóc z tym szeregiem?-- 11 wrz 2010, o 12:15 --\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{2n}{3n+2}\right) ^{2n} \cdot x ^{n}}\)
\(\displaystyle{ x ^{n}=t}\)
\(\displaystyle{ R= \sqrt[n ]{( \frac{2n}{3n+2}) ^{2n}} = (\frac{2n}{3n+2} ) ^{2}= \frac{4n ^{2} }{9n ^{2}+12n+4 }= \frac{4}{9}}\)
\(\displaystyle{ R=< -\frac{9}{4}; \frac{9}{4}>}\)
Proszę o poprawienie mnie, jeżeli błądzę.

[bedbet]

Znalazłam też na tym forum takie wyrażenie:\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[n]{1} }{ \sqrt[n]{n+2} } =1 ;
\frac{ \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} } =1}\)

To jest oczywiście nieprawdą.

[krfotok]

dziękuję, też tak mi się wydawało. Czy mogłabym prosić o sprawdzenie rozwiązania szeregu potęgowego?

[abc666]

Zapis formalny jest bardzo kiepski. Brak znaku granicy. Wynik wyszedł ok, ale przedział nie musi być taki. Trzeba sprawdzić zbieżność szeregu na jego końcach.