Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
krfotok
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 29 lip 2010, o 23:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zmrok
Podziękował: 1 raz

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: krfotok » 9 wrz 2010, o 11:00

Proszę o pomoc w sprawdzeniu rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n} (x-2) ^{n} =x-2=t}\)

\(\displaystyle{ R= lim\frac{1}{n}t ^{n}= \frac{1}{n} \cdot (n+1)= \frac{n+1}{n} =1+ \frac{1}{n} =1}\)
Jest zbieżny w zbiorze (-1,1)

\(\displaystyle{ t=-1 \sum_{n=1}^{k} (-1) \cdot \frac{1}{n}}\)
1. nierosnący
2.dążący do zera
czyli z kr. Leibniza jest zbieżny
ale że jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym, więc warunkowo zbieżny

\(\displaystyle{ t=1 \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n}}\)
wychodzi rozbieżny

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n}(x-2) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x-2 \le 1}\)
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)

Proszę o pomoc

rsasquatch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 35 razy

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: rsasquatch » 9 wrz 2010, o 11:23

Dobrze jest, tylko że jak jest on rozbieżny w 3 jak sama stwierdziłaś to przedziałem zbieżności jest \(\displaystyle{ [1,3)}\)

krfotok
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 29 lip 2010, o 23:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zmrok
Podziękował: 1 raz

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: krfotok » 9 wrz 2010, o 11:30

Nie rozumiem. Mógłbyś mi wytłumaczyć?

rsasquatch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 35 razy

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: rsasquatch » 9 wrz 2010, o 11:50

Wyznaczyłaś na samym początku, że szereg jest zbieżny w kole \(\displaystyle{ K(2,1)=(1,3)}\) (to nazywamy obszarem zbieżności) następnie musimy zbadać zbieżność na brzegach i tak dla \(\displaystyle{ x = 1}\)otrzymujemy szereg anharmoniczny zb. z kryterium Leibniza, a dla \(\displaystyle{ x = 3}\) szereg harmoniczny, który jest rozbieżny. Czyli szereg jest zbieżny w \(\displaystyle{ (1,3)}\) oraz w 1 i rozbieżny w 3 czyli ostatecznie jest zbieżny w przedziale \(\displaystyle{ [1,3)}\)

krfotok
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 29 lip 2010, o 23:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zmrok
Podziękował: 1 raz

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: krfotok » 9 wrz 2010, o 12:26

Dziękuję pięknie, już mnie olśniło.
Mam do sprawdzenie jeszcze szereg takiej maści:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \frac{(2x+1) ^{n} }{n!}}\)
Mi wychodzi,że R=0, czyli rozbieżny w {0}
Czy ktoś mógłby mi to sprawdzić?

rsasquatch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 35 razy

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: rsasquatch » 9 wrz 2010, o 12:43

Z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{1}{(n+1)!} }{ \frac{1}{n!} }=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1}= 0}\) wynika, że promień zbieżności \(\displaystyle{ r= \infty}\). Czyli szereg jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty , \infty )}\)

krfotok
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 29 lip 2010, o 23:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zmrok
Podziękował: 1 raz

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: krfotok » 9 wrz 2010, o 13:50

Tak, zgadza się. Przejęzyczyłam się wirtualnie.
Ostatni(mam nadzieję) szereg, aby sprawdzić, czy załapałam system:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} ( \frac{n}{3n+9}) ^{n} \cdot (x+5) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=( \frac{n}{3n+9}) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ R= \sqrt[n]{ ( \frac{n}{3n+9}) ^{n}} = \frac{n}{3n+9}= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ R ( -\frac{1}{3} ; \frac{1}{3})}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \le t \le \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}\le x+5 \le \frac{1}{3}}\)

rsasquatch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 35 razy

Przedział zbieżności szeregu-sprawdzenie

Post autor: rsasquatch » 9 wrz 2010, o 15:18

Niestety źle. Jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n}}=p \neq 0 \wedge \infty \Rightarrow R= \frac{1}{p}}\)

Wobec tego promień wyniesie \(\displaystyle{ R=3}\) i szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ -3<x+5<3}\) czyli na przedziale \(\displaystyle{ (-8,-2)}\). Jest rozbieżny w -8 oraz 3 gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, więc ostatecznie szereg jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ (-8,-2)}\)

ODPOWIEDZ