Matematyka.pl

Witam wszystkich forumowiczów!

Rozwiązuję zadania z poprzednich lat, z egzaminów matematyki na WFiIS AGH. Jest takie zadanie:


Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}}\)

Które rozwiązuje się dzięki kryterium d'Alemberta:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = lim{ \left\{\frac{(n+1)^{3(n+1)}5^{n+1}}{[3(n+1)]!} \cdot \frac{(3n)!}{n^{3n}5^n} \right\}}= \\ \\

= lim (n+1)^3 (n+1)^{3n} \cdot \frac{(3n)! \cdot 5^{n+1}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) \cdot(3n)! n^{3n} 5^n}= \\ \\

=5 \cdot lim \left\{\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\right]^3 \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\right\}}\)

Bierzemy na warsztat pierwszy czynnik:

\(\displaystyle{ \left[\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\right]^3 = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^3 \\
\\
\lim_{n \to \infty}\left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^3 =e^3}\)

Bierzemy na warsztat drugi czynnik:

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \frac{n^3 + \cdots}{ 27n^3 + \cdots}\\
\\
\lim_{n \to \infty}\frac{n^3 + \cdots}{ 27n^3 + \cdots} = \frac{1}{27}}\)

Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5e^3}{27} \approx \frac{40}{27}>1}\)

Szereg jest rozbieżny.

----

Chciałbym jednak zbadać WK zbieżności szeregu, i tutaj pojawia się problem:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}= ?}\)

Czym to ugryźć?

Skorzystaj z faktu, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n!} = \infty}\)

machacz pisze:Chciałbym jednak zbadać WK zbieżności szeregu, i tutaj pojawia się problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}= ?}\)
Czym to ugryźć?

Można korzystając z nierówności:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{3} \right)^n < n! < \left( \frac{n}{2} \right)^n}\)
wykazać, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{40}{27} \right)^n < \frac{n^{3n}5^n}{(3n)!}}\)

Q.

Qń pisze:

machacz pisze:Chciałbym jednak zbadać WK zbieżności szeregu, i tutaj pojawia się problem:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}= ?}\)
Czym to ugryźć?

Można korzystając z nierówności:
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{3} \right)^n < n! < \left( \frac{n}{2} \right)^n}\)
wykazać, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{40}{27} \right)^n < \frac{n^{3n}5^n}{(3n)!}}\)

Q.

Nie za bardzo rozumiem...
\(\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{40}{27} \right) \\ \\}\)


\(\displaystyle{ \left( \frac{40}{27} \right)^n < \frac{n^{3n}5^n}{(3n)!}}\)?

Chodzi mi tylko o zbadanie WK, czyli sprawdzenie czy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {{n^{3n}5^n}\over{(3n)!}}=0}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach (czy też tutaj w zasadzie o dwóch) wynika, że ciąg który sumujemy jest rozbieżny do nieskończoności, a nie zbieżny do zera.

Q.