zbieżność ciągu
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
zbieżność ciągu
Pokazać że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\ldots\cdot\frac{2^{n}+1}{2^{n}}}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a\in(\frac{3}{2}\sqrt[4]{e},\frac{3}{2}\sqrt{e})}\).
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
zbieżność ciągu
czyli innymy słowy, że
\(\displaystyle{ b_n=\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\ldots\cdot\frac{2^{n}+1}{2^{n}}}\)
ma granicę w przedziale \(\displaystyle{ (\sqrt[4]{e},\sqrt[2]{e})}\)
Teraz rozważ \(\displaystyle{ c_n=\ln b_n}\) i oszacuj tą sumę korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x\leq \ln(1+x)\leq x}\), która działa dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ b_n=\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{8}\cdot\ldots\cdot\frac{2^{n}+1}{2^{n}}}\)
ma granicę w przedziale \(\displaystyle{ (\sqrt[4]{e},\sqrt[2]{e})}\)
Teraz rozważ \(\displaystyle{ c_n=\ln b_n}\) i oszacuj tą sumę korzystając z nierówności \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x\leq \ln(1+x)\leq x}\), która działa dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\)