Matematyka.pl

a to jak
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ \sqrt[7]{n^{7}+n^{5}}-n}{ \sqrt[5] {n^{5}+2n^{3}}-n}}\)

Proponowalbym najpierw wyciagnac z licznika i mianownika odpowiednie potegi:
\(\displaystyle{ n^7,n^5}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ \sqrt[7]{1+ \frac{1}{n^2} }-1}{ \sqrt[5] {1+2 \frac{1}{n^2} }-1}}\)
i co teraz?

Np. rozwiń w szereg Maclaurina te pierwiastki (wystarczą dwa pierwsze wyrazy).

a nie da sie tylko tego zrobic z granic?

Owszem musi, skoro masz takie zadanie.
Ja wyszedlem z tego, ze dla dostatecznie duzych n:
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{n^k+an^{k-1}+...}}\)
zachowuje sie jak n. Wiec zalozylem sobie granice 1 (teraz mam watpliwosci)
Latwo to oszacowac jedynka z gory, zmniejszajac nieco stopien pierwiatka do 5 i dorzucajac do licznika pod pierwiastkiem 2, natomiast zonk mi wyskoczyl z dolnym oszacowaniem.

Możesz też ze wzorów skróconego mnożenia

Aby znaleźć odpowiednie wzory podziel

\(\displaystyle{ \frac{a^7-b^7}{a-b}= a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^5-b^5}{a-b}=a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4}\)

Następnie pomnóż dwa razy przez "jedynkę"

skorzystamy z tego \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{x^{a}-1}{x-1}= a}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{ \sqrt[7]{n^{7}+n^{5}}-n}{ \sqrt[5] {n^{5}+2n^{3}}-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{7}}-1}{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)-1}\cdot\frac{\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right)-1}{\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{5}}-1}\ = \frac{5}{14}}\)