Granica z logarytmami

[MadEagle]

Oblicz granicę ciąglu liczbowego

\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}}\)

Rozwiązuje

1.\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}= \frac{nlog _{3} 9}{nlog_{2} 4}= \frac{n^{3}}{n^{2}}= n^{3} * n^{-2}= n^{3+(-2)} = n^{1}= n}\)

2.\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}= \frac{nlog _{3} 9}{nlog_{2} 4}= \frac{n3}{n2}= 3n * -2n= -6n^{2}}\)

czy jest to poprawnie rozwiązane?

/edit:
Poprawiony zapis

[miki999]

czy jest to poprawnie rozwiązane?

Nie wiem- z pewnością zapisane poprawnie nie jest. Proszę czytelny zapis.



Pozdrawiam.

[Kamil_B]

Nie wiem skąd Ci się wzieły pierwsze dwie równości, ale moja wzkazówka do zadania jest taka:

Ukryta treść:    

wzór na zmianę podstawy logarytmu

[bakala12]

To przejście jest złe, i jemu podobne w mianowniku też jest źle
\(\displaystyle{ 9log _{3}n \neq n \cdot log _{3}9}\)
Ogólnie nieprawdziwe ale dla pewności kontrprzykład
\(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ L=9 \cdot log _{3}3= 9 \cdot 1=9}\)
\(\displaystyle{ P=3 \cdot log _{3}9=3 \cdot 2=6}\)
\(\displaystyle{ L \neq P}\)

[MadEagle]

Nie wiem skąd Ci się wzieły pierwsze dwie równości, ale moja wzkazówka do zadania jest taka:

Ukryta treść:    

wzór na zmianę podstawy logarytmu

wzór na zmianę podstawy logarytmu: \(\displaystyle{ log_a b= \frac{log_c b}{log_c a}}\)

Ale mam podstawić tam \(\displaystyle{ ^{n}{}\) ?

\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)}\)

to znów jest bez wyjścia, ponieważ n się nie skróci

[Kamil_B]

Nie \(\displaystyle{ n}\), tylko \(\displaystyle{ 2}\) albo \(\displaystyle{ 3}\), bo takie podstawy już masz

[nikasek11]

Wykorzystaj wzor

\(\displaystyle{ a ^{log _{c}b }=b^{log_{c}a}}\)

[Chromosom]

Wykorzystaj wzor

\(\displaystyle{ a ^{log _{c}b }=b^{log_{c}a}}\)

Takie postępowanie byłoby zdecydowanie niecelowe - nic Ci to tutaj nie da.

Należy zastosować wzór podany przez Kamil_B w taki sposób żeby logarytmy się skróciły - myśl dalej

[nikasek11]

No tak, sorki zle przeczytalam i skojarzylam to zadanie z krysickim gdzie logarytm jest w potedze. Powodzenia

[MadEagle]

\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)}\)

Nie \(\displaystyle{ n}\), tylko \(\displaystyle{ 2}\) albo \(\displaystyle{ 3}\), bo takie podstawy już masz

Skąd tu wziąłeś 2? tu(powyżej) jest tylko licznik z początkowego zadania(\(\displaystyle{ an= \frac{9log _{3} n} {4log_{2} n}}\)) a mianownik według podanego wzoru to:

\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}}\)
---
ten wzór to:
\(\displaystyle{ log_a b= \frac{log_c b}{log_c a}}\)
więc
\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}}\)

zgadza się? tylko co teraz z "n"

[sushi]

masz takie cos:

\(\displaystyle{ \log_3 n}\)
wiec dla tego robisz zamiane podstawy na \(\displaystyle{ \log_3 n= \frac{\log_2 n}{\log_2 3}}\)

[MadEagle]

No to właśnie coś takiego zrobiłem z wykorzystaniem tego wzoru, tylko nie podstawiałem żadnej liczby pod c, bo to nie rozwiązuje niestety równania, będzie coś takiego:
Licznik:
\(\displaystyle{ 9log_3 n= 9 \left(\frac{log_c n}{log_c 3}\right)=9 \left(\frac{log_3 n}{log_3 3}\right)=9\left(\frac{log_3 n}{1}\right)=9log_3 n}\)

Mianownik:
\(\displaystyle{ \left( 4log_2 n\right)^{-1}= 4 \left(\frac{log_c n}{log_c 2}\right)^{-1}=4 \left(\frac{log_2 n}{log_2 2}\right)^{-1}= \left( 4log_2 n\right)^{-1}= \frac{1}{4log_2 n}}\)

Całość wygląda wtedy tak:
\(\displaystyle{ \frac{9log_3 n}{4log_2 n}}\)
i wracam do punktu wyjścia..

[sushi]

a czy ja po chinsku pisze??

zamiast \(\displaystyle{ \log_3 n}\) podstaw, to co napisalem obok i nic wiecej nie zamieniaj z logarytmami

[pyzol]

\(\displaystyle{ 4\log_2 n=4\frac{\log_3 n}{\log_3 2}\\
\frac{9\log_3 n}{4\log_2 n}=9\log_3 n :\frac{4\log_3 n}{\log_3 2}=\\
= \frac{9\log_3 n\cdot \log_3 2}{4\log_3 n}=...}\)
skracasz \(\displaystyle{ \log_3 n}\)
to jest wykonanie powyzszych wskazowek

-- 9 sie 2010, o 12:51 --

A tak w sumie, to nie, bo mialem licznik zamieniac i tak proponuje tobie zrobic dla cwiczenia.

[MadEagle]

Więc:
\(\displaystyle{ 9\log_3 n= \frac{9\log_2 n}{\log_2 3}}\)

\(\displaystyle{ 4\log_2 n= \frac{4\log_2 n}{\log_2 2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{9\log_3 n}{4\log_2 n}= \frac{\frac{9\log_2 n}{\log_2 3}}{\frac{4\log_2 n}{\log_2 2}}= \frac{9\log_2 n}{\log_2 3} * \frac{\log_2 2}{4\log_2 n}= \frac{9\log_2 2}{4\log_2 3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{9\log_2 2}{4\log_2 3}= \frac{9\log_3 2}{\log_3 2} * \frac{4\log_3 3}{\log_3 2}= 9\log_3 3 *4\log_3 2=36\log_3 2}\)

teraz jest poprawnie?