Proszę o pomoc lub wskazówki przy rozwiązaniu tych zadań:
1. Zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt[n]{1+ 2^{n} + 3^{n}} - i \left( \frac{n+2}{n} \right) ^{3n}}\)
2. Wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\) dla którego szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} * n^{2} }{ 5^{n} } z^{n}}\) jest zbieżny
zbieżność ciągu i szeregu
-
sabinka706
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 1 lut 2009, o 16:56
- Płeć: Kobieta
-
pipol
zbieżność ciągu i szeregu
\(\displaystyle{ 3\le \sqrt[n]{1+2^n +3^n} \le \sqrt[n]{3}\cdot 3}\) zatem \(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n]{1+2^n +3^n} =3}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \left( \frac{n+2}{n}\right)^{3n} =e^6}\)
czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } a_n = 3-e^6 i}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n] {\frac{2^n \cdot n^2}{5^n}} =\frac{2}{5}}\)
jeśli \(\displaystyle{ |z|=\frac{5}{2}}\) , to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \left|\frac{2^n \cdot n^2}{5^n} \cdot z^n\right|= \lim_{ n\to\infty } n^2 =+\infty}\) zatem obszarem zbieżności szeregu jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{D} =\{z\in\mathbb{C} z|<\frac{5}{2}\}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \left( \frac{n+2}{n}\right)^{3n} =e^6}\)
czyli \(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } a_n = 3-e^6 i}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \sqrt[n] {\frac{2^n \cdot n^2}{5^n}} =\frac{2}{5}}\)
jeśli \(\displaystyle{ |z|=\frac{5}{2}}\) , to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \left|\frac{2^n \cdot n^2}{5^n} \cdot z^n\right|= \lim_{ n\to\infty } n^2 =+\infty}\) zatem obszarem zbieżności szeregu jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{D} =\{z\in\mathbb{C} z|<\frac{5}{2}\}}\)