Kryterium porównawcze-jakie

[pigwabest]

Czy ktoś podpowie mi z jakim szeregiem porównać poniższy, aby pokazać że jest rozbieżny? Bo zakładam, że trzeba użyć tutaj kryterium porównawczego. Z góry dzięki.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \sqrt[n]{n} }}\)


i jeszcze nie wiem jak czepić się tego szeregu, aby zbadać zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{2}sin \frac{2}{n}tg \frac{5}{n}}\)

[Mikolaj9]

Pierwszy można zapisać jako: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^(\frac{n+1}{n})}}\) i on będzie zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu \(\displaystyle{ \frac{n+1}{n} >1}\). Ale nie jestem na 100% pewny.

[pigwabest]

No tylko że ten pierwszy ma być rozbieżny

[Mikolaj9]

Pewnie dlatego, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{n} = 1}\). Czyli wraz z rosnącym n, szereg "coraz bardziej przypomina" \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\).

[pigwabest]

szczerze mówiąc nie przekonuje mnie to tłumaczenie

[exupery]

dokładnie rzecz ujmując to można by kryterium ilorazowe:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n \sqrt[n]{n} }}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1,}\)
albo kondensacyjne;p
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n^{2}sin \frac{2}{n}tg \frac{5}{n} = \sum_{n=1}^{ \infty } n^{2} \cdot \frac{sin \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{tg \frac{5}{n}}{\frac{5}{n}} \cdot \frac{5}{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }10\frac{sin \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}} \cdot \frac{tg \frac{5}{n}}{\frac{5}{n}}}\)

[Gierol]

1 szereg najladniej chyba bedzie jak skorzystasz z czegos w stylu:
\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt[n]{n} \le 5495329059}\)
ciach, prach, szast, prast, porownawcze, fiku, miku i koniec kk

[Zordon]

1 szereg najladniej chyba bedzie jak skorzystasz z czegos w stylu:
\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt[n]{n} \le 5495329059}\)
ciach, prach, szast, prast, porownawcze, fiku, miku i koniec kk

po to wymyslono kryterium ilorazowe, żeby nie wyciągać takich liczb z kapelusza