Matematyka.pl

Jak w temacie, należy obliczyć granicę następującego ciągu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+4 ^{n}+7 ^{n} }}\) , posługując się tymże twierdzeniem.

Z góry dzięki za pomoc, bo nie potrafię poprawnie rozwiązywać zadań tego typu , a to tw. jest dla mnie wielką niewiadomą.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{1+4 ^{n}+7 ^{n} } \le \sqrt[n]{3 \cdot 7^n}}\)
teraz liczysz granice dla ciągów ograniczających nasz ciąg z góry i dołu i jeśli te granice są równe(a są równe 7)to granica ciągu naszego jest też równa 7.

chodzi o to, ze szukamy ciagu ktory jest wiekszy od naszego i mniejszy od niego. Jesli oba daza do tej samej wartosci to automatycznie ciag znajdujacy sie pomiedzy nimi tez musi dazyc do tej granicy

Ok, teraz mniej więcej widzę, ale dlaczego granica tego drugiego ciągu, z prawej też wynosi 7?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3 \cdot 7^n}= \sqrt[n]{3} \cdot \sqrt[n]{7^n}= 7 \sqrt[n]{3}}\)
a granica z tego to 7*1=7