wykaż ciąg rosnący

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
joasia777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 1 sty 2010, o 16:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

wykaż ciąg rosnący

Post autor: joasia777 »

Wykaż, że ciąg jest rosnący:

\(\displaystyle{ a_{n}= - \frac{2n}{ n^{2}+1 }}\)
Ostatnio zmieniony 24 lut 2010, o 16:50 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

wykaż ciąg rosnący

Post autor: tometomek91 »

Badamy znak różnicy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}= - \frac{2(n+1)}{ (n+1)^{2}+1 }+ \frac{2n}{ n^{2}+1 }=- \frac{2n+2}{ n^{2}+2n+2 }+ \frac{2n}{ n^{2}+1 }=- \frac{(2n+2)(n^{2}+1)+2n(n^{2}+2n+2) }{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1) }}\)
Mianownik jest zawsze dodatni, zajmiemy się licznikiem:
\(\displaystyle{ 2n(n^{2}+2n+2)-(2n+2)(n^{2}+1)=2n^{3}+4n^{2}+4n-2n^{3}-2n^{2}-2n-2=2n^{2}+2n-2=2(n^{2}+n-1)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ h(n)=n^{2}+n-1\ \ \left(h: \mathbb{N_{+}} \rightarrow \mathbb{R} \rihgt)}\) dla argumentów większych od zera przyjmuje wartości dodatnie, więc całe wyrażenie jest dodatnie, a zatem ciąg jest rosnący.
joasia777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 1 sty 2010, o 16:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

wykaż ciąg rosnący

Post autor: joasia777 »

hmmm nie jestem pewna co do jednego...
tam na dole w mianowniku jest \(\displaystyle{ (n+1)^{2}}\) i u mnie w klasie zostawiali to w tej postaci, przez co rozwiazanie ciagnelo sie w nieskonczonosc... i zadala nam to do domu;]
zati61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 656
Rejestracja: 11 gru 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaa
Pomógł: 119 razy

wykaż ciąg rosnący

Post autor: zati61 »

\(\displaystyle{ a_{n}= - \frac{2n}{ n^{2}+1}}\)
można sprytniej. Minus zmiania nam monotoniczność na przeciwną(przykład: y=x oraz y=-x)
A\(\displaystyle{ \frac{2n}{ n^{2}+1}}\) jest malejące, bo mianownik szybciej rośnie niż licznik> ułamek maleje( w mianowniku mamy f. kwadratowa, w liczniku liniowa- wiemy ze liniowa wolniej rosnie niz kwadratowa).
z tego wnioskujemy ze ciag jest rosnacy
Ostatnio zmieniony 24 lut 2010, o 17:08 przez zati61, łącznie zmieniany 2 razy.
joasia777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 1 sty 2010, o 16:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy

wykaż ciąg rosnący

Post autor: joasia777 »

yhym.. ale tamto rozwiazanie tez jest ok?;)
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

wykaż ciąg rosnący

Post autor: tometomek91 »

tak, też jest ok ;]
ODPOWIEDZ