Strona 1 z 1
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 19:41
autor: anika91
Jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}n}}\)
(chce to zrobić na przekształceniach, nie z tw. o 3 ciągach, niestety nie wiem od czego zacząć).
Za pomoc dziękuje +
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 19:43
autor: Althorion
Wyciągnąłbym pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ 2^n}\) przed nawias.
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 20:32
autor: anika91
Czy tak ? :
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}^{n}} =
\sqrt[n]{2^{n}+2^{-n}}= \sqrt[n]{2^{n}(1+2^{-2n})}=
\sqrt[n]{2^{n}} \cdot \sqrt[n]{1+2^{-2n}}=
2\sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2n}}} = \lim_{n \to \infty } 2 \cdot 1+0=2}\)
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 20:45
autor: Grzegorz t
hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 23:01
autor: anika91
Grzegorz t pisze:hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)
Mój błąd, źle napisałam tam powinna być 1/2^n.
Swoją drogą jeśli to by było
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
to też moglibyśmy wyciągnąć
\(\displaystyle{ 2n}\) pod pierwiastkiem ?? Jakoś tego nie widzę ?
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 23:06
autor: miki999
Tym prostsza granica, bo:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\) zbiega do
\(\displaystyle{ 0}\).
Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
Wyłączamy
\(\displaystyle{ 2^n}\)...
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 23:19
autor: anika91
Mogłabym prosić o rozpisanie tego ? bo jakoś mi nie wychodzi z tym wyciągnięciem \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
wychodzi 1+.... i co tutaj ? Jak wyciągnąć \(\displaystyle{ 2^{n}}\) z tego ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) dzielę ten ułamek przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ? Jakoś mi to nie wychodzi, nie wiem jak :/
Dla pewności zakładamy TEN przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 23:23
autor: miki999
\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\)
Oblicz granicę
: 16 gru 2009, o 23:29
autor: anika91
Dziękuje, jeszcze jedna sprawa:
\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\) dąży do 0 , ale chyba żeby to pokazać muszę jeszcze coś z tym zrobić ? Bo z samego tego wyrażenia wychodzi wyraz nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) ?
Oblicz granicę
: 17 gru 2009, o 13:07
autor: enigm32
Można to np. oszacować od góry ciągiem \(\displaystyle{ c_n=\frac{1}{2n^2} \rightarrow 0}\) - i tw. o trzech ciągach.
-- 17 grudnia 2009, 13:12 --
lub zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n+1}}} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - czyli ciąg zbieżny do 0
lub:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(1+\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - zbieżny do 0