Oblicz granicę

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
anika91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 67 razy

Oblicz granicę

Post autor: anika91 » 16 gru 2009, o 19:41

Jak policzyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}n}}\)

(chce to zrobić na przekształceniach, nie z tw. o 3 ciągach, niestety nie wiem od czego zacząć).

Za pomoc dziękuje +
Ostatnio zmieniony 16 gru 2009, o 19:51 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Oblicz granicę

Post autor: Althorion » 16 gru 2009, o 19:43

Wyciągnąłbym pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ 2^n}\) przed nawias.

anika91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 67 razy

Oblicz granicę

Post autor: anika91 » 16 gru 2009, o 20:32

Czy tak ? :

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2}^{n}} =

\sqrt[n]{2^{n}+2^{-n}}= \sqrt[n]{2^{n}(1+2^{-2n})}=

\sqrt[n]{2^{n}} \cdot \sqrt[n]{1+2^{-2n}}=
2\sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2n}}} = \lim_{n \to \infty } 2 \cdot 1+0=2}\)
Ostatnio zmieniony 16 gru 2009, o 23:02 przez anika91, łącznie zmieniany 1 raz.

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Oblicz granicę

Post autor: Grzegorz t » 16 gru 2009, o 20:45

hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)

anika91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 67 razy

Oblicz granicę

Post autor: anika91 » 16 gru 2009, o 23:01

Grzegorz t pisze:hej przecież \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n}\) to nie jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)
Mój błąd, źle napisałam tam powinna być 1/2^n.

Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
to też moglibyśmy wyciągnąć \(\displaystyle{ 2n}\) pod pierwiastkiem ?? Jakoś tego nie widzę ?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz granicę

Post autor: miki999 » 16 gru 2009, o 23:06

Tym prostsza granica, bo:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\).
Swoją drogą jeśli to by było \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)
Wyłączamy \(\displaystyle{ 2^n}\)...

anika91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 67 razy

Oblicz granicę

Post autor: anika91 » 16 gru 2009, o 23:19

Mogłabym prosić o rozpisanie tego ? bo jakoś mi nie wychodzi z tym wyciągnięciem \(\displaystyle{ 2^{n}}\)
wychodzi 1+.... i co tutaj ? Jak wyciągnąć \(\displaystyle{ 2^{n}}\) z tego ułamka \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) dzielę ten ułamek przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ? Jakoś mi to nie wychodzi, nie wiem jak :/

Dla pewności zakładamy TEN przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2^{n}+\frac{1}{2} \cdot n}}\)

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz granicę

Post autor: miki999 » 16 gru 2009, o 23:23

\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\)

anika91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 67 razy

Oblicz granicę

Post autor: anika91 » 16 gru 2009, o 23:29

Dziękuje, jeszcze jedna sprawa:

\(\displaystyle{ ... \frac{n}{2^{n+1}} \rightarrow 0}\) dąży do 0 , ale chyba żeby to pokazać muszę jeszcze coś z tym zrobić ? Bo z samego tego wyrażenia wychodzi wyraz nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) ?

Awatar użytkownika
enigm32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 99 razy

Oblicz granicę

Post autor: enigm32 » 17 gru 2009, o 13:07

Można to np. oszacować od góry ciągiem \(\displaystyle{ c_n=\frac{1}{2n^2} \rightarrow 0}\) - i tw. o trzech ciągach.

-- 17 grudnia 2009, 13:12 --

lub zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n+1}}} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - czyli ciąg zbieżny do 0
lub:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=(1+\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}<1}\) - zbieżny do 0

ODPOWIEDZ