Przykłady obliczania granic ciągów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

Przykłady obliczania granic ciągów

Post autor: Zordon » 6 lis 2009, o 23:55

W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości.

W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }b_n=b}\). Wtedy zachodzą poniższe równości:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n+b_n)=a+b}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b}\)
O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) są ograniczone (to znaczy, istnieje stała \(\displaystyle{ M}\), taka że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|<M}\)) to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n \cdot b_n=0}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 3 (o trzech ciągach)}}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n}\), \(\displaystyle{ b_n}\), \(\displaystyle{ c_n}\) będą ciągami, które dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) spełniają nierówności: \(\displaystyle{ a_n \le b_n \le c_n}\). Ponadto załóżmy, że granice ciągów \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ c_n}\) istnieją i są równe \(\displaystyle{ g}\). Wtedy również \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }b_n=g}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 4 (o dwóch ciągach)}}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n}\), \(\displaystyle{ b_n}\) będą ciągami, które dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) spełniają nierówność: \(\displaystyle{ a_n \le b_n}\). Ponadto załóżmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } a_n= \infty}\), wtedy również \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }b_n= \infty}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 5 (o ciągu monotonicznym i ograniczonym)}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem spełniającym dwa następujące warunki:
(1) \(\displaystyle{ a_n}\) jest od pewnego momentu słabo rosnący,
(2) wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) są ograniczone od góry,
to ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżny. Analogiczne twierdzenie zachodzi, jeśli ciąg jest malejący i ograniczony od dołu.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 6}}\)
Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunków:
(1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}<1}\),
(2) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} <1}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=0}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 7 (Stolza)}}\)
Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ a_n \rightarrow \infty}\) oraz dowolny ciąg \(\displaystyle{ b_n}\). Wtedy, jeśli: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=A}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{b_n}{a_n}=A}\). Gdzie A może być liczbą bądź symbolem plus lub minus nieskończoności.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 8 (o liczbie Eulera e)}}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie ciągiem zbieżnym do 0, którego wyrazy są niezerowe. Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (1+a_n)^{ \frac{1}{a_n}}=e}\). Gdzie \(\displaystyle{ e \approx 2.71828}\) jest liczbą Eulera.

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 9}}\)
Jeśli funkcja \(\displaystyle{ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a}\), a ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ a}\), to: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }g(a_n)=g(a)}\).

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 10 (podstawowe granice)}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(1) } \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n}=0}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(2) } \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n^a}=0 \mbox{ dla }a>0}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(2') } \lim_{ n\to \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(3) } \lim_{ n\to \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|<1}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(3') } \lim_{ n\to \infty } q^n= \infty \mbox{ dla } q>1}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(4) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(5) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\)
\(\displaystyle{ \mbox{(6) } \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n =e}\)

\(\displaystyle{ \mbox{TW. 11}}\)
Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) o niezerowych wyrazach spełnia: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g}\), wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g}\)


Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż")

\(\displaystyle{ \mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{5. }a_n= \left( \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n}}\) dla \(\displaystyle{ q>1}\), \(\displaystyle{ k>0}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ c>0}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}}\)
Ukryta treść:    


\(\displaystyle{ \mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n} }}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{20. }a_n= \left( \frac{n+5}{n} \right)^n}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{21. }a_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n} \right)^n}\)
Ukryta treść:    


\(\displaystyle{ \mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)}\)
Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{28. }a_n= \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}}\)
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ \mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}}\)
Ukryta treść:    



Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach".
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Zablokowany