Granica ciągu z pierwiastkiem

[huba]

Mam pytanie jak udowodnic, ze \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1}\) ??

z gory dzieki
huba

[Gregsky]

jest jakieś kryterium na to.Leibnitza albo Cauchy'ego albo Dirichleta,nie pamietam dokladnie ktore.

[Pikaczu]

Nie jestem w 100% pewien ale tu w dowodzie trzeba skorzystać z tw. o trzech ciągach i z definicji Heinego granicy.
A kryterium Dirichleta i Leibnitza to chyba było przy zbierzności szeregów, ale Ja teraz za bardzo nie kontaktuje, wiec nie jestem pewien....

[g]

mozna tez najpierw dowiesc ze ciag jest ograniczony i monotoniczny, czyli ma granice. i teraz niech
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n^\frac{1}{n} = g\\
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n)}{n} = \ln(g)}\)
po lewej mamy zero, czyli \(\displaystyle{ 0 = \ln(g)}\), czyli \(\displaystyle{ g=1}\)