Wykaż równość granic dla dwóch ciągów

[fab]

Witam, proszę o pomoc w udowodnieniu poniższego:

\(\displaystyle{ \hbox{Jeśli } \quad \forall n\ge n_{0} \quad a_{n}>0 \quad \hbox{ oraz } \quad \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \rightarrow g \quad \hbox{ to } \quad \sqrt[n]{ a_{n} } \rightarrow g}\)

gdzie \(\displaystyle{ n_{0}}\) oznacza pierwszy indeks ciągu

[luka52]

post556806.htm#p556806

[gower9]

Mógłby ktoś napisać dokładnie, jaki związek ma temat pod linkiem z tym problemem?
Nie mogę po prostu powołać się na kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego, tylko muszę udowodnić te zależności...

[Zordon]

skorzystaj z tw. Stolza dla ciągu
\(\displaystyle{ b_n=\ln( \sqrt[n]{a_n})= \frac{\ln(a_n) }{n}}\)

[gower9]

Dla których ciągów? Tego bn, które napisałeś i an?

[Zordon]

dla \(\displaystyle{ b_n}\)

[gower9]

Nie korzystałem nigdy z twierdzenia Stolza, więc nie bardzo wiem, jak się z to zabrać... Mógłbyś coś jeszcze napisać?

[Zordon]

Pierwsze co zrobiłbym w Twojej sytuacji to zaglądnąłbym na wikipedię czy gdziekolwiek, żeby sprawdzić czym jest tw. Stolza.

[gower9]

Mam, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}ln(\sqrt[n]{a_{n}})=\lim_{n\to\infty}ln\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)

Czy to oznacza, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{a_{n}})=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)?

[fab]

post22057.htm#p22057 i twierdzenie 24 powinno pomóc

[Zordon]

Przy odpowiednich założeniach, że te granice są skończone, to tak.

[Duke]

Przy odpowiednich założeniach, że te granice są skończone, to tak.

Czemu tak, a jak nie tak, to nie.

[Gierol]

mialem takie samo zadanie na zajeciach. dowodzilem je przy pomocy zaleznosci miedzy granica ciagu i granica sredniej geometrycznej ich wyrazow. jesli znasz ja to pewnie jest juz to dla ciebie oczywiste.
Zordon umrzyj btw

[Zordon]

mialem takie samo zadanie na zajeciach. dowodzilem je przy pomocy zaleznosci miedzy granica ciagu i granica sredniej geometrycznej ich wyrazow. jesli znasz ja to pewnie jest juz to dla ciebie oczywiste.
Zordon umrzyj btw

u
A tamto tw. o granicy ciągu srednich geometrycznych sie dowodzi ze Stolza, albo chociaz ze szczegolnego przypadku (ciag srednich arytmetycznych n pierwszych wyrazów ciągu ma taka sama granice co dany ciąg), więc na to samo wychodzi

[Duke]

Problem tylko jeden. Robie tak
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)
i wsawiam to do tego twierdzenia 24. i zostaje mi \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{a_{n+1}}{a} }}\)

;/