obliczyc granice ciagu korzystac z twierdzenia o trzech ciagach:
a)\(\displaystyle{ \frac{2n+(-1^n)}{(3^n)+2}}\)
b)\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } }}\) wynik \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)??
granica ciagu
-
Kamil_B
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
granica ciagu
Wskazówki
a) \(\displaystyle{ 1 \le 2n+(-1)^{n} \le 2^{n} +1}\)
b) Wynik to 0. Podziel licznik i mianownik pod pierwiastkiem przez \(\displaystyle{ 5^{n}}\)
a) \(\displaystyle{ 1 \le 2n+(-1)^{n} \le 2^{n} +1}\)
b) Wynik to 0. Podziel licznik i mianownik pod pierwiastkiem przez \(\displaystyle{ 5^{n}}\)
-
aga92
- Użytkownik
- Posty: 324
- Rejestracja: 28 mar 2008, o 09:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 121 razy
granica ciagu
b)\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n}+ 5^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 3^{n} }{ 5^{n} } }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 2 \cdot 5^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 2 \cdot 3^{n} }{ 5^{n} } }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } \cdot \sqrt[n]{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } }) = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } \cdot \sqrt[n]{2} )= \frac{3}{5}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } = \frac{3}{5}}\)
-- 22 października 2009, 23:55 --
a)\(\displaystyle{ \frac{1}{(3^n)+2} \le \frac{2n+(-1^n)}{(3^n)+2} \le \frac{2^{n} + 2^{n}}{3^n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(3^n)+2} = [ \frac{1}{+ \infty }] = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 2^{n}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} (2 \cdot \frac{2^{n} }{3^n} )= 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}= 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{2n+(-1^n)}{(3^n)+2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 2 \cdot 5^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 2 \cdot 3^{n} }{ 5^{n} } }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } \le \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } \cdot \sqrt[n]{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } }) = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} }{ 5^{n} } } \cdot \sqrt[n]{2} )= \frac{3}{5}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n}+ 2^{n} }{ 5^{n}+ 4^{n} } } = \frac{3}{5}}\)
-- 22 października 2009, 23:55 --
a)\(\displaystyle{ \frac{1}{(3^n)+2} \le \frac{2n+(-1^n)}{(3^n)+2} \le \frac{2^{n} + 2^{n}}{3^n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(3^n)+2} = [ \frac{1}{+ \infty }] = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 2^{n}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} (2 \cdot \frac{2^{n} }{3^n} )= 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}= 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{2n+(-1^n)}{(3^n)+2} = 0}\)