granice ciągu, pierwiastki, potęgi, cosinusy

[hhtp]

Oblicz granicę ciągu ( o ile istnieje)
a)
\(\displaystyle{ a_n=5\cdot 3^{2n} - \frac{1}{4}\cdot 9^n +7}\)
b)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}}\)
c)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}n \cdot cosn^3 - \frac{3n}{6n+1}}\)

[Kamil_B]

Wskazówki:
a)\(\displaystyle{ 3^{2n}=9^{n}}\)
b)Twierdzenie o 3 ciągach : np. szacowanie z góry \(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}\) z dołu szacujesz analogicznie

[wasu]

prosilbym o rozwiniecie przykladu b)

[Kamil_B]

Z dołu szacuj przez \(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}}\)

[hhtp]

Wskazówki:
a)\(\displaystyle{ 3^{2n}=9^{n}}\)
b)Twierdzenie o 3 ciągach : np. szacowanie z góry \(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}\) z dołu szacujesz analogicznie

czy możesz bardziej rozwinąć przykład a?
bo to co napisałeś, to na to również wpadłam, tylko nie wiem co zrobić z tym końcowym...

[wasu]

dopisuje sie do prosby

[aga92]

b)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le a_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}\)

\(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le a_{n} \le n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left ( n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \right) = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \right) = 1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left ( n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \right) = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}} \right) = 1}\)

Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n} = 1}\)