ciąg rekurencyjny

[robin5hood]

Niech \(\displaystyle{ x_1 = 1, x_2 = 1, x_{n+2} = x_{n+1}^2 - \frac{x_n}{2}}\). Pokazać zbiezność i znaleźć granice.

[Maciej87]

Niech \(\displaystyle{ y_n = \left|x_n\right|}\). Dla pewnych dwóch kolejnych \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ y_n \leqslant \frac{1}{4}}\) i dalej z nierówności trójkąta i indukcji jest podobnie, zatem \(\displaystyle{ \left|x_n\right| = y_n\leqslant \frac{1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ n> n_0}\). Mamy
\(\displaystyle{ y_{n+2} \leqslant y_{n+1}^2 + \frac{1}{2} y_n \leqslant \frac{1}{4}y_{n+1}+\frac{1}{2}y_n}\).
Z tego oszacowania wynika już, że \(\displaystyle{ y_n \rightarrow 0}\).
(Można rozwinąć rekurencję albo policzyć wartości własne albo cokolwiek)