Granica ciągu (Krysicki i Włodarski)

[bazinga]

Witam, zaczynam dopiero zabawę z granicami ciągów i natrafiłem na problem. Proszę o sprawdzenie czy takie rozwiązanie jest ok a jak nie to przydałaby się jakaś wskazówka bo nic innego mi do głowy nie przychodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n-1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n^2}}{2n^2-n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n^2}/n^2}{2-1/n}}\)
granica = 0
Ale to wyrażenie w 3-ciej linijce z \(\displaystyle{ (-1)^{n^2}/n^2}\) Wydaje mi się trochę bezsensu...

[miodzio1988]

Źle. Z tw o 3 ciągach skorzystaj albo popatrz co się dzieje dla liczb parzystych i nieparzystych.

[Marcin_Garbacz]

A ja bym to inaczej interpretował i zrobił:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^{n}}{2n-1}= \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{(-1)^{n}}{n} }{2- \frac{1}{n} } =\lim_{n \to \infty } \frac{0}{2}=0}\)

Mianownik dazy do 2 - to widać.
Licznik \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n}}{n}}\) do 0 ponieważ gdy będziesz brał n parzyste czy nieparzyste -1 moze dac 1 albo -1 natomiast im dalej w las n z mianownika licznika bedzie leciec do nieskoczonosci co w sumie daje granice całego wyrazenia zero.

[argv]

A ja jeszcze inaczej z twierdzenia ze granica iloczynu ciągu ograniczonego przez ciąg zbieżny do 0 = 0.
\(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) ograniczony
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n-1} = 0}\)

[bazinga]

@Marcin_Garbacz
Wielkie dzięki, ta metoda najbardziej mi odpowiada bo w sumie niczym się nie różni od tej którą stosowałem do innych ciągów:P

Chciałem rozpatrywać parzyste i nieparzyste, ale wydawało mi się że za dużo roboty z tym będzie...

[Inkwizytor]

To co napisali miodzio1988 i argv jest dosyć ważne. Warto się zapoznać z tw. o 3 ciągach lub z tym bardzo dobrym (acz szkoda że tak rzadko wspominanym) twierdzeniu o granicy iloczynu ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera. Warto znać bo nie zawsze da się tak łatwo i w sposób oczywisty zrobić zadanie jak te podane na początku.

Pewnych rzeczy nie da się tak po prostu opisać "bo to widać". Chociażby:

"Licznik \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n}}{n}}\) do 0 ponieważ gdy będziesz brał n parzyste czy nieparzyste -1 moze dac 1 albo -1 natomiast im dalej w las n z mianownika licznika bedzie leciec do nieskoczonosci co w sumie daje granice całego wyrazenia zero."

Ktoś mógłby zapytać: "A uzasadnienie?" i w tym miejscu wystarczy przytoczyć definicję garnicy wg. Cauchy'ego zmodyfikowaną do tego przykładu lub użyć wytrychu w postaci sformułowania "prawie wszystkie elementy..." dorzucić "otoczenie" itd.

[bedbet]

Można też wybrać dwa jedyne możliwe podciągi i pokazać, że są zbieżne do tej samej granicy, wobec czego wyjściowa granica istnieje i wynosi... A to twierdzenie o którym mówi Inkwizytor, to zapewne zawdzięcza swoją "popularność" dzięki temu, że mówi o jednej tylko granicy wynoszącej zero.

[miodzio1988]

Można też wybrać dwa jedyne możliwe podciągi (...)

Jakie to są niby dwa jedyne możliwe podciągi, e? Tych podciągów możesz wybrać więcej, wiesz? z Hainego to nie pojdzie.

[bedbet]

W takim razie wskaż mi je.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n-1}}\)

Twierdzenie o 3 ciągach


\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{-1}{2n}}\)
.
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{(-1)^{n}}{2n-1}}\)
.
\(\displaystyle{ c_{n} = \frac{1}{2n-2}}\)

Dla każdego n>1
zachodzi \(\displaystyle{ (a_{n}) \le (b_{n}) \le (c_{n})}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} c_{n} = 0}\)
Stąd nasz ciąg też ma granicę w zerze

[bedbet]

Czekam na odpowiedź miodzio1988...

[miodzio1988]

W takim razie wskaż mi je.

\(\displaystyle{ a_{k} = \frac{k(k+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{k}=2k}\)
\(\displaystyle{ a_{k} = 2k+1}\)
\(\displaystyle{ a_{k} =4k}\)
\(\displaystyle{ a_{k} =4k+1}\)
\(\displaystyle{ a_{k} =4k+2}\)
\(\displaystyle{ a_{k} =4k+3}\)
\(\displaystyle{ a_{k} =8k+1}\)

Dalej mam podawac? Zwroc uwage szczegolnie na pierwszy. I gdzie są te 2 mozliwe podciągi, e?

[bedbet]

Który Ty ciąg rozważasz?

[miodzio1988]

Można też wybrać dwa jedyne możliwe podciągi i pokazać, że są zbieżne do tej samej granicy, (...)

Pokazałem Ci, że nie ma tutaj DWOCH JEDYNYCH MOZLIWYCH podciągów. Jest ich znacznie więcej kolego

[Rogal]

Tak, ale dwa intuicyjne podciągi wypełniają wszystkie wyrazy ciągu i to wystarcza tak na moje oko.