Granica z liczba e

[Marcin_Garbacz]

Moglby ktos przedstawic sposob rozwiazywania takich granic, np mam takie dwie:

\(\displaystyle{ e_{n}= (\frac{n-7}{n}) ^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ e_{n}=( \frac{n^{3}+3}{n^{3}})^{3n^{3}}}\)


I mam cos takiego jeszcze:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ \sqrt{n(n+2)}-n }{n+2- \sqrt{n(n+2)} }}\)

Pewnie trzeba z wzorami skroconego mnozenia kombinowac ale ja zrobilem to tak ze wszystko przez n podzililem i mi wyszlo 0 a w odpowiedzi jest ze granica to 1.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ \sqrt{n(n+2)}-n }{n+2- \sqrt{n(n+2)} }=\frac{ \sqrt{n^{2}+2n}-n }{n+2- \sqrt{n^{2}+2n} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n}= \frac{ \sqrt{\frac{2}{n} +1}-1 }{1+ \frac{2}{n}- \sqrt{\frac{2}{n} +1} }= \frac{0}{0}=0}\)

Gdzie jest blad w moim rozumowaniu i liczeniu?

[czeslaw]

Błąd jest tu, że symbol \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) jest symbolem nieoznaczonym i wcale nie oznacza, że granicą jest 0 - wszak jest to 0 podzielone przez 0, a kto to widział żeby dzielić przez 0? Kombinuj ze wzorami skróconego mnożenia.

A co do tych pierwszych granic, musisz zawsze ciąg przekształcić do takiej postaci, by skorzystać z twierdzenia:
\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{a_{n}})^{a_{n}} \rightarrow e}\)

[Marcin_Garbacz]

Błąd jest tu, że symbol \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) jest symbolem nieoznaczonym i wcale nie oznacza, że granicą jest 0 - wszak jest to 0 podzielone przez 0, a kto to widział żeby dzielić przez 0? Kombinuj ze wzorami skróconego mnożenia.

A co do tych pierwszych granic, musisz zawsze ciąg przekształcić do takiej postaci, by skorzystać z twierdzenia:
\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{a_{n}})^{a_{n}} \rightarrow e}\)

Czesław wiem ze musze do takiej postawi przekształcic ale mi nei wychodzi, dlatego prosze o przykładowe rozwiazania a reszte przyładów z ksiazki mysle ze jakos rozwiaze.

Co do tego pierwszego ... miałem inne prostsze granice i tez i wychodzło 0/0 i wyniki granic się zgadzały. Gdzies w ksiazce chyba tez mialem 0/0. To oznacze ze tamte przyklady tez byly zle?? Jesli pwoiesz ze tak postaram sie je odszukac i je przeanalizujemy na forum ;P

[czeslaw]

Symbol \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) nie oznacza nic - tylko tyle, że musisz szukać innej postaci.
Nie prosiłes o rozwiązanie, tylko o sposób Więc dałem Ci sposób. Ok, rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (\frac{n-7}{n})^{n-1} = (1-\frac{7}{n})^{n-1} = ((1-\frac{7}{n})^{-\frac{n}{7}})^{-\frac{n-1}{\frac{1}{7}n}} \rightarrow e^{-7}}\)

[Marcin_Garbacz]

Dzieki juz bede wiedzial jak to robic i jeszcze znajde tamte granice pozniej.

Pzdr

[remix23]

nie potrafie tak rozwiazac mojego przkladu..

[Inkwizytor]

Pewnie trzeba z wzorami skroconego mnozenia kombinowac ale ja zrobilem to tak ze wszystko przez n podzililem i mi wyszlo 0 a w odpowiedzi jest ze granica to 1.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ \sqrt{n(n+2)}-n }{n+2- \sqrt{n(n+2)} }=\frac{ \sqrt{n^{2}+2n}-n }{n+2- \sqrt{n^{2}+2n} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n}= \frac{ \sqrt{\frac{2}{n} +1}-1 }{1+ \frac{2}{n}- \sqrt{\frac{2}{n} +1} }= \frac{0}{0}=0}\)

Gdzie jest blad w moim rozumowaniu i liczeniu?

Po pierwsze 0/0 to symbol nieoznaczony.
Po drugie jeśli liczysz granicę ciągu i wychodzi symbol nieoznaczony tzn. że MUSISZ zastosować jakiś wzór/przekształcenie gdyż samo wyciągnięcie n nic nie daje.
Po trzecie polecam wzór na różnicę kwadratów (przy pierwiastkach drugiego stopnia) i na różnicę sześcianów przy (przy pierwiastkach trzeciego stopnia) - podpowiem że dla licznika osobno i dla mianownika osobno.
Po czwarte ad rem powiem, iż również sie przydaje przy przykładach typu: \(\displaystyle{ \infty - \infty}\)

p.s. nie każdy wzór stosuje sie wprost jak go pokazują w tablicach, czasem trzeba go lekko przekształcić (zgodnie z prawidłami matematycznymi ofkors)

[Marcin_Garbacz]

Pewnie trzeba z wzorami skroconego mnozenia kombinowac ale ja zrobilem to tak ze wszystko przez n podzililem i mi wyszlo 0 a w odpowiedzi jest ze granica to 1.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ \sqrt{n(n+2)}-n }{n+2- \sqrt{n(n+2)} }=\frac{ \sqrt{n^{2}+2n}-n }{n+2- \sqrt{n^{2}+2n} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_{n}= \frac{ \sqrt{\frac{2}{n} +1}-1 }{1+ \frac{2}{n}- \sqrt{\frac{2}{n} +1} }= \frac{0}{0}=0}\)

Gdzie jest blad w moim rozumowaniu i liczeniu?

Po pierwsze 0/0 to symbol nieoznaczony.
Po drugie jeśli liczysz granicę ciągu i wychodzi symbol nieoznaczony tzn. że MUSISZ zastosować jakiś wzór/przekształcenie gdyż samo wyciągnięcie n nic nie daje.
Po trzecie polecam wzór na różnicę kwadratów (przy pierwiastkach drugiego stopnia) i na różnicę sześcianów przy (przy pierwiastkach trzeciego stopnia) - podpowiem że dla licznika osobno i dla mianownika osobno.
Po czwarte ad rem powiem, iż również sie przydaje przy przykładach typu: \(\displaystyle{ \infty - \infty}\)

p.s. nie każdy wzór stosuje sie wprost jak go pokazują w tablicach, czasem trzeba go lekko przekształcić (zgodnie z prawidłami matematycznymi ofkors)

To juz zostalo przeciez wyjasnione przez czeslaw-a. Ale dzieki za odezw, pisałem posta jakis czas temu (ucze sie tego sam z ksiazek) i juz lepiej to rozumiem i wiem jak takie cos liczyc i jakie triki stosowac. Pzdr