suma szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
sakurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 1 lis 2008, o 14:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: imagine
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

suma szeregu

Post autor: sakurka »

Mamy dla szeregu sprawdzić zbieżność i jeśli jest zbieżny to policzyć jego sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + 3^{n} }{ 6^{n} }}\)

to jakiś prosty przykład, ale ja stykam się z tym pierwszy raz, zbieżność stwierdziłam na podstawie kryterium d' Alemberta ale jak sumę policzyć? jedyne co widzę to to że napewno nie jest geometryczny, coś mi kobieca intuicja podpowiada że jest potęgowy, czyżby? a jeśli tak to czy są na to więc jakieś wzory?
proszę o pomoc :oops:
miodzio1988

suma szeregu

Post autor: miodzio1988 »

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + 3^{n} }{ 6^{n} }=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 3^{n} }{ 6^{n} }+\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} }{ 6^{n} }}\)
dalej nie jest geometryczny?
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

suma szeregu

Post autor: Tomasz Rużycki »

Skorzystaj z tego, ze jesli szeregi \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum b_n}\) sa zbiezne, to zbiezny jest szereg \(\displaystyle{ \sum (a_n + b_n)}\). Otrzymasz dwa szeregi geometryczne.
sakurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 1 lis 2008, o 14:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: imagine
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

suma szeregu

Post autor: sakurka »

tak, tak, jak już kolega to tak rozdzielił to mnie oświeciło :oops:
dzięęęki
bo nie wiedziałam że to można tak rozbić, czyli wystarczy że zbadam np. z tego kryterium d'alemberta czy cały szereg jest zbieżny jeśli jest to znaczy że wszystkie sumy częściowe zawierające się w nim też są zbieżne więc mogę dowolnie go rozbijać, dobrze myślę?
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

suma szeregu

Post autor: Tomasz Rużycki »

Nie. Wez sobie np. \(\displaystyle{ \sum (-1)^k}\) oraz \(\displaystyle{ \sum (-1)^{k+1}}\).

\(\displaystyle{ \sum \left((-1)^k + (-1)^{k+1}\right) = \sum 0 = 0}\), ale zaden z powyzszych szeregow nie jest zbiezny.

Oczywiscie jesli polozysz \(\displaystyle{ S_n = \sum_{i=1}^n x_n}\) oraz \(\displaystyle{ S_n}\) jest zbiezny, to kazdy podciag \(\displaystyle{ S_n}\) jest zbiezny.
sakurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 1 lis 2008, o 14:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: imagine
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

suma szeregu

Post autor: sakurka »

aha, w ten sposób
już rozumiem, za bardzo uogólniłam
jeszcze raz dzięki za pomoc , teraz pójdzie już gładko dla 20 przykładów
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

suma szeregu

Post autor: Tomasz Rużycki »

Powodzenia.
ODPOWIEDZ