\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\ln \left( 1-\frac{2}{n(n+1)}\right)}\)
Pewnie trzeba skorzystac z faktu, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac{1}{n+1}}\), tylko nie wiem jak i w którym miejscu
Znajdz sume szeregu
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Znajdz sume szeregu
\(\displaystyle{ S_m=\sum_{n=2}^m\ln\left(1-\frac{2}{n(n+1)}\right)=
\sum_{n=2}^m\ln\frac{n(n+1)-2}{n(n+1)}=
\sum_{n=2}^m\ln\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=2}^m\left(\ln(n-1)+\ln(n+2)-\ln n -\ln(n+1)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=2}^m\left(\ln(n-1)-\ln n\right)-\sum_{n=2}^m\left(\ln(n+1)-\ln(n+2)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\ln 1-\ln m - \ln 3 + \ln(m+2)=-\ln 3+\ln\frac{m+2}{m}\longrightarrow-\ln 3+\ln 1=-\ln 3}\)
\sum_{n=2}^m\ln\frac{n(n+1)-2}{n(n+1)}=
\sum_{n=2}^m\ln\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=2}^m\left(\ln(n-1)+\ln(n+2)-\ln n -\ln(n+1)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=2}^m\left(\ln(n-1)-\ln n\right)-\sum_{n=2}^m\left(\ln(n+1)-\ln(n+2)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\ln 1-\ln m - \ln 3 + \ln(m+2)=-\ln 3+\ln\frac{m+2}{m}\longrightarrow-\ln 3+\ln 1=-\ln 3}\)