Szeregi - zbieżność

[pc]

1. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (\sin(\frac{1}{n})*\cos(\frac{1}{n}))}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (\sin(\frac{1}{n})*\tg(\frac{1}{n}))}\)

4. \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (n^2 sin\frac{2}{n} \tg\frac{5}{n})}\)

Ogólnie zastanawiałem się nad kryterium porównawczym do zadań 2,3,4 ale dokładnie do czego porównać nie mam pojęcia. W zadaniu 1 porównałem do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i wyszło mi że szereg jest zbieżny, ale wg. odpowiedzi powinien być rozbieżny.
Dzięki z góry.

[msx100]

hey! w przykladnie a) szereg jest rozbiezny, bo:
\(\displaystyle{ a_n = \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}\)
teraz wiemy, ze \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \to 1}\) dla duzych n. Wiec liczbe jeden mozeby obrac za gore ograniczenie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\).
Zatem: \(\displaystyle{ n \cdot \sqrt[n]{n} \le n \cdot 1 \Leftrightarrow \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}} \ge \frac{1}{n}}\)
Wiemy, ze szereg o wyrazach 1/n jest rozbiezny, zatem z kryterium porownawczego nasz szreg tez jest rozbiezny.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} \le 1 \Leftrightarrow n \le 1}\)
sprzecznosc.

[Lorek]

Noo \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) zmierza do 1, ale z góry, więc takie szacowanie nie jest prawdziwe, z zagęszczeniowego zdaje się wychodzi. A wsio inne najlepiej z ilorazowego.

[msx100]

lol.. sorki 4all ale dzis nie mysle.. lepiej ide sobie.

[pc]

Noo \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) zmierza do 1, ale z góry, więc takie szacowanie nie jest prawdziwe, z zagęszczeniowego zdaje się wychodzi. A wsio inne najlepiej z ilorazowego.

Mógłbym prosić o najdokładniejsze rozwiązanie chociaż jednego z tych szeregów z kryterium ilorazowego?

[msx100]

nie dobra.. musze sie poprawic i potem pojde.
ja proponuje kryterium graniczne
niech \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n \sqrt[n]{n}} >0 \ \ b_n = \frac{1}{n} > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1 \in (0, \infty)}\)
kryterium to mowi, ze szeregi o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) sa rownoczesnie zbiezne lub rozbiezne. Dla naszego obranego szregu o wyrazach \(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{n}}\) wynika rozbieznos szregu o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\)
...
teraz juz ide

[setch]

2.
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac1n \cos \frac1n=\frac12 \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac2n}\)

A to jak wiemy jest rozbieżne

[pc]

2.
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac1n \cos \frac1n=\frac12 \sum^{\infty}_{n=1} \sin \frac2n}\)

A to jak wiemy jest rozbieżne

hm... a z jakiej tożsamości skorzystałes przekształcając sin*cos na sin?

edit: z tego, tak? \(\displaystyle{ \sin (2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x \,}\)

prosiłbym jeszcze o rozwiązanie następnego szeregu gdzie mamy tg, bo tam ma wyjść zbieżność znowuż, dziękuję

edit2: i w ogóle skąd wiadomo że szereg \(\displaystyle{ \sin(\frac{2}{n})}\) jest rozbieżny

edit3: hm.. ale dobra zrobiłęm to z tego iloczynowego, czyli obliczyłem granicę \(\displaystyle{ a_n/b_n}\) wyszło 0 tylko co dalej czy mogę wnioskować wg. tego co znazłem w wiki nt. tego kryterium że skoro granica \(\displaystyle{ a_n/b_n}\) nie zawiera się w przedziale tam podanym oraz podane niżej warunki nie obowiązują (bo to drugi szereg nie jest zbieżny) to szereg wyjściowy jest rozbieżny?
może coś poplątałem ale mam nadzieję że ktoś zrozumie...

[Lorek]

Np z ilorazowego, czyli podobnie jak to zrobił msx100, albo z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}x\le \sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0,\frac{\pi}{2})}\)
A dla tangensa to ilorazowe i znane granice A ostatni nie spełnia warunku koniecznego (ma coś wspólnego z ilorazowym z 3).

[pc]

czyli jeśli chodzi o przykład z tangensem granica ilorazu mi wyszla 1, natomiast granica tg(1/n) wynosi 0, czyli jest to szereg zbieżny, dlatego możemy wnioskować że nasz początkowy iloczyn jest zbieżny, tak?

[Lorek]

Ee, znaczy takie coś mi chodziło
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=1}\)
a że to na dole jest zbieżne, to to u góry też.