Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34487 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 14 sty 2022, o 20:43
ewap pisze: ↑ 14 sty 2022, o 20:16
Tak.
Wyszedl wynik
To jeszcze nie oznacza, że poprawnie użyłaś ten wzór. Wolałbym to zobaczyć.
JK
ewap
Użytkownik
Posty: 49 Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy
Post
autor: ewap » 16 sty 2022, o 01:26
Przepraszam dopiero zauwazylam, ze Pan zapytal.
Doszlam do tego tak:
Stosujac wzor na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ S_n= \frac{1+4n-1}{2} \cdot {(4n-1)} = 8n^2-2n}\)
Podstawiajac do granicy:
\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to \infty}} \frac{8n^2-2n}{\frac{n+n^2}{2}} = {\lim_{n\to \infty}} \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{8-\frac{2}{n}}{\frac{\frac{1}{n}+1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=4}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 01:41 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.
Jan Kraszewski
Administrator
Posty: 34487 Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5220 razy
Post
autor: Jan Kraszewski » 16 sty 2022, o 01:47
ewap pisze: ↑ 16 sty 2022, o 01:26
\(\displaystyle{ S_n= \frac{1+4n-1}{2} \cdot {(4n-1)} = 8n^2-2n}\)
Jeżeli uważasz, że
\(\displaystyle{ 1+5+9+\dots+(4n+1)=\frac{1+4n-1}{2} \cdot {(4n-1)}}\) , to jesteś w dużym błędzie, bo to bardzo nieprawda (pomijając już fakt, że zapomniałaś, iż tam powinno być
\(\displaystyle{ 4n+1}\) , a nie
\(\displaystyle{ 4n-1}\) ). Zupełnie niepoprawnie zastosowałaś wzór
\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot {n}}\) - nie zrozumiałaś w ogóle znaczenia tych znaczków i popełniłaś dokładnie ten sam błąd, co w pierwszym poście. W związku z tym wyszedł Ci tak samo błędny wynik, bo jednak
ewap pisze: ↑ 16 sty 2022, o 01:26 \(\displaystyle{ ...=\frac{8}{\frac{1}{2}}=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{\frac{1}{2}}=16.}\)
JK
ewap
Użytkownik
Posty: 49 Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy
Post
autor: ewap » 16 sty 2022, o 19:49
Korzystajac ze wzoru na sume n wyrazow ciagu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot {n}}\)
Dla ciagu w liczniku wzor na sume ma postac:
\(\displaystyle{ \frac{1+(4n+1)}{2} \cdot \color{blue}{n} }\)
\(\displaystyle{ \color{blue}{n}}\) wyprowadzam z tego wzoru
\(\displaystyle{ a_n-a_1=({\color{blue}{n}}-1)\cdot r}\)
\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}= \frac{a_n-a_1}{r}+1}\)
\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}= \frac{(4{\color{green}{n}}+1)-1}{4}+1}\)
\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}= {\color{green}{n}}+1}\)
Dla ciagu w mianowniku wzor na sume ma postac:
\(\displaystyle{ \frac{1+n}{2} \cdot {\color{blue}{n}}}\)
\(\displaystyle{ \color{blue}{n}}\) wyznaczam
\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}} = {\frac{{\color{green}{n}}-1}{1}+1}}\)
\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}} = {\color{green}{n}}}\)
Podstawiajac do granicy:
\(\displaystyle{ = {\lim_{{\color{green}{n}}\to\infty}} \frac{4{\color{green}{n}}^2+6{\color{green}{n}}+2}{{\color{green}{n}}^2+\color{green}{n}}}\)
\(\displaystyle{ = {\lim_{{\color{green}{n}}\to\infty}} \frac{{\color{green}{n}}^2}{{\color{green}{n}}^2} \cdot {\frac{4+\frac{6}{{\color{green}{n}}}+\frac{2}{{\color{green}{n}}^2}}{1+\frac{1}{{\color{green}{n}}}}} = 4}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 20:04 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.
ewap
Użytkownik
Posty: 49 Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 36 razy
Post
autor: ewap » 16 sty 2022, o 20:10
Trzeba bylo odrobic troche lekcji z ciagow...
Dziekuje Panu przede wszystkim za cierpliwosc.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 20:13 przez
Jan Kraszewski , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.