Granica ciagu, iloraz ciagow

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 29401
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4766 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 14 sty 2022, o 20:43

ewap pisze:
14 sty 2022, o 20:16
Tak.
Wyszedl wynik
To jeszcze nie oznacza, że poprawnie użyłaś ten wzór. Wolałbym to zobaczyć.

JK

ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 23 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap » 16 sty 2022, o 01:26

Przepraszam dopiero zauwazylam, ze Pan zapytal.
Doszlam do tego tak:

Stosujac wzor na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n}\)
\(\displaystyle{ S_n= \frac{1+4n-1}{2} \cdot {(4n-1)} = 8n^2-2n}\)

Podstawiajac do granicy:

\(\displaystyle{ ={\lim_{n\to \infty}} \frac{8n^2-2n}{\frac{n+n^2}{2}} = {\lim_{n\to \infty}} \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{8-\frac{2}{n}}{\frac{\frac{1}{n}+1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=4}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 01:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 29401
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4766 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 16 sty 2022, o 01:47

ewap pisze:
16 sty 2022, o 01:26
\(\displaystyle{ S_n= \frac{1+4n-1}{2} \cdot {(4n-1)} = 8n^2-2n}\)
Jeżeli uważasz, że \(\displaystyle{ 1+5+9+\dots+(4n+1)=\frac{1+4n-1}{2} \cdot {(4n-1)}}\), to jesteś w dużym błędzie, bo to bardzo nieprawda (pomijając już fakt, że zapomniałaś, iż tam powinno być \(\displaystyle{ 4n+1}\), a nie \(\displaystyle{ 4n-1}\)). Zupełnie niepoprawnie zastosowałaś wzór \(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot {n}}\) - nie zrozumiałaś w ogóle znaczenia tych znaczków i popełniłaś dokładnie ten sam błąd, co w pierwszym poście. W związku z tym wyszedł Ci tak samo błędny wynik, bo jednak
ewap pisze:
16 sty 2022, o 01:26
\(\displaystyle{ ...=\frac{8}{\frac{1}{2}}=4}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{\frac{1}{2}}=16.}\)

JK

ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 23 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap » 16 sty 2022, o 19:49

Korzystajac ze wzoru na sume n wyrazow ciagu arytmetycznego:

\(\displaystyle{ S_n= \frac{a_1+a_n}{2} \cdot {n}}\)

Dla ciagu w liczniku wzor na sume ma postac:

\(\displaystyle{ \frac{1+(4n+1)}{2} \cdot \color{blue}{n} }\)

\(\displaystyle{ \color{blue}{n}}\) wyprowadzam z tego wzoru

\(\displaystyle{ a_n-a_1=({\color{blue}{n}}-1)\cdot r}\)

\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}= \frac{a_n-a_1}{r}+1}\)

\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}= \frac{(4{\color{green}{n}}+1)-1}{4}+1}\)

\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}}= {\color{green}{n}}+1}\)

Dla ciagu w mianowniku wzor na sume ma postac:

\(\displaystyle{ \frac{1+n}{2} \cdot {\color{blue}{n}}}\)

\(\displaystyle{ \color{blue}{n}}\) wyznaczam

\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}} = {\frac{{\color{green}{n}}-1}{1}+1}}\)

\(\displaystyle{ {\color{blue}{n}} = {\color{green}{n}}}\)

Podstawiajac do granicy:

\(\displaystyle{ = {\lim_{{\color{green}{n}}\to\infty}} \frac{4{\color{green}{n}}^2+6{\color{green}{n}}+2}{{\color{green}{n}}^2+\color{green}{n}}}\)

\(\displaystyle{ = {\lim_{{\color{green}{n}}\to\infty}} \frac{{\color{green}{n}}^2}{{\color{green}{n}}^2} \cdot {\frac{4+\frac{6}{{\color{green}{n}}}+\frac{2}{{\color{green}{n}}^2}}{1+\frac{1}{{\color{green}{n}}}}} = 4}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 20:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej? Stosuj "Odpowiedz" zamiast cytowania postu.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 29401
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4766 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: Jan Kraszewski » 16 sty 2022, o 20:08

No i teraz w końcu jest dobrze.

JK

ewap
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 23 gru 2021, o 11:21
Płeć: Kobieta
wiek: 23
Podziękował: 23 razy

Re: Granica ciagu, iloraz ciagow

Post autor: ewap » 16 sty 2022, o 20:10

Trzeba bylo odrobic troche lekcji z ciagow...
Dziekuje Panu przede wszystkim za cierpliwosc.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 20:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ